Fonctions : Symétrie et périodicité
En mathématiques, les propriétés de symétrie et de périodicité sont essentielles pour comprendre le comportement des fonctions. Ces propriétés permettent de simplifier l’analyse et la représentation graphique des fonctions.
- Symétrie : Une fonction peut être paire (symétrique par rapport à l’axe des ordonnées) ou impaire (symétrique par rapport à l’origine).
- Périodicité : Une fonction est dite périodique si elle se répète à intervalles réguliers, appelés périodes.
Ces propriétés sont largement utilisées en analyse, en physique et en ingénierie pour étudier les fonctions et leurs applications.
Exemples sur Fonctions : Symétrie et périodicité
Exemple 1 : Fonction paire \( f(x) = x^2 \)
La fonction \( f(x) = x^2 \) est une fonction paire car elle vérifie :
\[ f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x) \]Son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
Exemple 2 : Fonction impaire \( f(x) = x^3 \)
La fonction \( f(x) = x^3 \) est une fonction impaire car elle vérifie :
\[ f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x) \]Son graphe est symétrique par rapport à l’origine.
Exemple 3 : Fonction périodique \( f(x) = \sin(x) \)
La fonction \( f(x) = \sin(x) \) est une fonction périodique de période \( 2\pi \). Elle vérifie :
\[ \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \]Son graphe se répète tous les \( 2\pi \) unités.