Domaine de définition d’une fonction
En mathématiques, le domaine de définition d’une fonction \( f \) est l’ensemble des valeurs de \( x \) pour lesquelles \( f(x) \) est définie. Déterminer ce domaine est essentiel pour comprendre où une fonction existe et peut être utilisée.
- Pour les fonctions polynomiales, le domaine est généralement \( \mathbb{R} \) (tous les nombres réels).
- Pour les fonctions rationnelles, le domaine exclut les valeurs de \( x \) qui annulent le dénominateur.
- Pour les fonctions racines carrées, le domaine est l’ensemble des \( x \) tels que l’expression sous la racine est non négative.
Le domaine de définition est crucial pour éviter des erreurs dans les calculs et pour interpréter correctement les résultats.
Exemples sur Domaine de définition d’une fonction
Exemple 1 : Fonction polynomiale \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)
La fonction \( f(x) = x^2 + 3x + 2 \) est définie pour tout \( x \) réel. Ainsi, son domaine de définition est :
\[ \mathbb{R} \]Le graphe de cette fonction est une parabole définie sur tout l’axe des abscisses.
Exemple 2 : Fonction rationnelle \( f(x) = \frac{1}{x – 2} \)
La fonction \( f(x) = \frac{1}{x – 2} \) n’est pas définie pour \( x = 2 \), car cela annule le dénominateur. Ainsi, son domaine de définition est :
\[ \mathbb{R} \setminus \{2\} \]Le graphe de cette fonction présente une asymptote verticale en \( x = 2 \).
Exemple 3 : Fonction racine carrée \( f(x) = \sqrt{x + 4} \)
La fonction \( f(x) = \sqrt{x + 4} \) est définie uniquement lorsque l’expression sous la racine est non négative. Ainsi, on résout :
\[ x + 4 \geq 0 \implies x \geq -4 \]Le domaine de définition est donc :
\[ [-4, +\infty) \]Le graphe de cette fonction commence à \( x = -4 \) et s’étend vers la droite.