Composition de fonctions
En mathématiques, la composition de fonctions consiste à appliquer une fonction à la sortie d’une autre fonction. Si \( f \) et \( g \) sont deux fonctions, la composition \( f \circ g \) est définie par :
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \]La composition de fonctions est une opération fondamentale en analyse, permettant de combiner des fonctions pour créer de nouvelles fonctions. Voici quelques propriétés importantes :
- La composition n’est pas commutative : \( f \circ g \neq g \circ f \) en général.
- La composition est associative : \( (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) \).
- Le domaine de \( f \circ g \) est l’ensemble des \( x \) dans le domaine de \( g \) tels que \( g(x) \) est dans le domaine de \( f \).
Exemples sur Composition de fonctions
Exemple 1 : Composition de \( f(x) = x^2 \) et \( g(x) = x + 1 \)
Considérons les fonctions \( f(x) = x^2 \) et \( g(x) = x + 1 \). La composition \( f \circ g \) est donnée par :
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = (x + 1)^2 \]Le graphe de \( (f \circ g)(x) \) est une parabole décalée de 1 unité vers la gauche.
Exemple 2 : Composition de \( f(x) = \sqrt{x} \) et \( g(x) = x^2 \)
Considérons les fonctions \( f(x) = \sqrt{x} \) et \( g(x) = x^2 \). La composition \( f \circ g \) est donnée par :
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = \sqrt{x^2} = |x| \]Le graphe de \( (f \circ g)(x) \) est une fonction en valeur absolue.
Exemple 3 : Composition de \( f(x) = \sin(x) \) et \( g(x) = 2x \)
Considérons les fonctions \( f(x) = \sin(x) \) et \( g(x) = 2x \). La composition \( f \circ g \) est donnée par :
\[ (f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x) = \sin(2x) \]Le graphe de \( (f \circ g)(x) \) est une sinusoïde de période \( \pi \).