Théorème de Cauchy-Lipschitz
Le théorème de Cauchy-Lipschitz, également connu sous le nom de théorème de Picard-Lindelöf, est un résultat fondamental en analyse concernant l’existence et l’unicité des solutions d’équations différentielles ordinaires.
Théorème (Version locale) :
Soit \[f : U \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\] une fonction continue sur un ouvert U et vérifiant la condition de Lipschitz par rapport à la seconde variable : \[\exists K > 0, \forall (t,y_1), (t,y_2) \in U, \|f(t,y_1) – f(t,y_2)\| \leq K\|y_1 – y_2\|\] Alors pour tout point \((t_0,y_0) \in U\), il existe :- Un intervalle I contenant \(t_0\)
- Une unique solution \(y : I \rightarrow \mathbb{R}^n\) au problème de Cauchy :
Hypothèses essentielles :
- Continuité de f
- Condition de Lipschitz
- Ouverture du domaine U
Exemples sur le théorème de Cauchy-Lipschitz
Exemple 1 :
Considérons l’équation différentielle : \[y’ = 2ty\] avec la condition initiale \(y(0) = 1\) Cette équation vérifie les conditions du théorème car :- f(t,y) = 2ty est continue sur \(\mathbb{R}^2\)
- Pour tout t fixé : \(|f(t,y_1) – f(t,y_2)| = |2t||y_1 – y_2|\)
- Sur tout compact [a,b], f est lipschitzienne avec K = 2max|t|
Exemple 2 :
Soit l’équation différentielle : \[y’ = y^2\] avec \(y(0) = 1\) Vérifions les conditions :- f(y) = y² est continue sur \(\mathbb{R}\)
- f'(y) = 2y est localement bornée
- Sur tout intervalle borné, f est lipschitzienne