Équation de Legendre
Définitions et Théorèmes
L’équation de Legendre est une équation différentielle linéaire du second ordre qui apparaît dans de nombreux problèmes de physique mathématique, notamment en électrostatique et en mécanique quantique. Elle s’écrit sous la forme :
\[ (1 – x^2) y »(x) – 2x y'(x) + \nu(\nu + 1) y(x) = 0 \]
où \( \nu \) est un paramètre réel ou complexe appelé degré de l’équation de Legendre.
Théorème : Les solutions de l’équation de Legendre sont appelées fonctions de Legendre. Elles se divisent en deux catégories :
- Les fonctions de Legendre de première espèce, notées \( P_\nu(x) \).
- Les fonctions de Legendre de deuxième espèce, notées \( Q_\nu(x) \).
La solution générale de l’équation de Legendre est une combinaison linéaire de ces deux fonctions :
\[ y(x) = A P_\nu(x) + B Q_\nu(x) \]
où \( A \) et \( B \) sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
Exemples sur l’équation de Legendre
Exemple 1 : Fonction de Legendre de première espèce
Considérons l’équation de Legendre d’ordre \( \nu = 1 \) :
\[ (1 – x^2) y »(x) – 2x y'(x) + 2 y(x) = 0 \]
Étapes de résolution :
- Identifier l’ordre \( \nu = 1 \).
- La solution générale est donnée par :
- La fonction de Legendre de première espèce \( P_1(x) \) est définie par :
- La fonction de Legendre de deuxième espèce \( Q_1(x) \) est définie comme une combinaison linéaire de \( P_1(x) \) et d’une fonction logarithmique.
\[ y(x) = A P_1(x) + B Q_1(x) \]
\[ P_1(x) = x \]
Exemple 2 : Fonction de Legendre d’ordre entier
Considérons l’équation de Legendre d’ordre \( \nu = 2 \) :
\[ (1 – x^2) y »(x) – 2x y'(x) + 6 y(x) = 0 \]
Étapes de résolution :
- Identifier l’ordre \( \nu = 2 \).
- La solution générale est donnée par :
- La fonction de Legendre de première espèce \( P_2(x) \) est définie par :
- La fonction de Legendre de deuxième espèce \( Q_2(x) \) est définie comme une combinaison linéaire de \( P_2(x) \) et d’une fonction logarithmique.
\[ y(x) = A P_2(x) + B Q_2(x) \]
\[ P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 – 1) \]