Équation de Cauchy-Euler

Équation de Cauchy-Euler

Définitions et Théorèmes

L’équation de Cauchy-Euler, également appelée équation d’Euler-Cauchy, est une équation différentielle linéaire du second ordre de la forme :

\[ x^2 y »(x) + a x y'(x) + b y(x) = 0 \]

où \( a \) et \( b \) sont des constantes réelles. Cette équation est caractérisée par ses coefficients variables en puissances de \( x \).

Théorème : Pour résoudre l’équation de Cauchy-Euler, on utilise la substitution \( y(x) = x^r \), où \( r \) est une constante à déterminer. En substituant \( y(x) = x^r \) dans l’équation, on obtient l’équation caractéristique :

\[ r(r – 1) + a r + b = 0 \]

Les solutions de cette équation quadratique déterminent la forme générale de la solution de l’équation de Cauchy-Euler.

Cas possibles :

  • Si les racines \( r_1 \) et \( r_2 \) sont réelles et distinctes, la solution générale est :

    • \[ y(x) = C_1 x^{r_1} + C_2 x^{r_2} \]

  • Si les racines sont réelles et égales (\( r_1 = r_2 \)), la solution générale est :

    • \[ y(x) = (C_1 + C_2 \ln x) x^{r_1} \]

  • Si les racines sont complexes conjuguées (\( r = \alpha \pm i\beta \)), la solution générale est :

    • \[ y(x) = x^\alpha \left( C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x) \right) \]

Exemples sur l’équation de Cauchy-Euler

Exemple 1 : Racines réelles distinctes

Considérons l’équation de Cauchy-Euler suivante :

\[ x^2 y »(x) + 3x y'(x) + y(x) = 0 \]

Étapes de résolution :

  1. Identifier les coefficients \( a = 3 \) et \( b = 1 \).
  2. Substituer \( y(x) = x^r \) pour obtenir l’équation caractéristique :

    3. \[ r(r – 1) + 3r + 1 = 0 \implies r^2 + 2r + 1 = 0 \]

  3. Résoudre l’équation caractéristique :

    4. \[ r = -1 \quad (\text{racine double}) \]

  4. La solution générale est :

    5. \[ y(x) = (C_1 + C_2 \ln x) x^{-1} \]

Exemple 2 : Racines complexes conjuguées

Considérons l’équation de Cauchy-Euler suivante :

\[ x^2 y »(x) + x y'(x) + 4 y(x) = 0 \]

Étapes de résolution :

  1. Identifier les coefficients \( a = 1 \) et \( b = 4 \).
  2. Substituer \( y(x) = x^r \) pour obtenir l’équation caractéristique :

    3. \[ r(r – 1) + r + 4 = 0 \implies r^2 + 4 = 0 \]

  3. Résoudre l’équation caractéristique :

    4. \[ r = \pm 2i \quad (\text{racines complexes}) \]

  4. La solution générale est :

    5. \[ y(x) = C_1 \cos(2 \ln x) + C_2 \sin(2 \ln x) \]