Analyse nodale: nœuds, potentiels, équations, matrices
L’analyse nodale est une méthode essentielle en circuits électriques et électroniques permettant de déterminer les potentiels aux nœuds d’un circuit. Cette technique repose sur l’application des lois de Kirchhoff pour établir des équations nodales qui peuvent ensuite être résolues à l’aide de matrices.
- Identification des nœuds du circuit
- Choix d’un nœud de référence (masse)
- Écriture des équations de Kirchhoff pour chaque nœud
- Formation du système d’équations matricielles
- Résolution des équations pour trouver les potentiels nodaux
Formules Clés
La loi des nœuds de Kirchhoff s’exprime par :
$$\sum_{k=1}^{n} I_k = 0$$
Où \(I_k\) représente les courants entrant et sortant d’un nœud.
| Nœud | Potentiel (V) | Courant (A) |
|---|---|---|
| Nœud 1 | \(V_1\) | \(I_1\) |
| Nœud 2 | \(V_2\) | \(I_2\) |
Nœuds dans les circuits électriques
Dans un circuit électrique, un nœud est un point de connexion où deux conducteurs ou plus se rejoignent. L’identification précise des nœuds est cruciale pour l’analyse nodale.
- Un circuit simple peut avoir peu de nœuds, tandis que des circuits complexes en auront beaucoup plus.
- Chaque nœud peut être associé à un potentiel électrique unique.
- La sélection d’un nœud de référence facilite la résolution des équations.
| Type de Nœud | Description |
|---|---|
| Nœud d’entrée | Nœud par lequel le courant entre dans un élément du circuit. |
| Nœud de sortie | Nœud par lequel le courant sort d’un élément du circuit. |
Potentiels nodaux et référence
Le potentiel nodal est la tension électrique à un nœud par rapport à un point de référence, généralement la masse ou le nœud de référence.
- Choisir un nœud de référence permet de simplifier les calculs.
- Les potentiels aux autres nœuds sont calculés par rapport à ce point de référence.
- Les potentiels sont utilisés pour déterminer les courants dans le circuit.
| Nœud | Potentiel (V) |
|---|---|
| Nœud de référence | 0 V |
| Nœud 1 | \(V_1\) |
Équations nodales fondamentales
Les équations nodales sont dérivées de la loi des nœuds de Kirchhoff et permettent de relier les potentiels des différents nœuds.
- Chaque équation représente la somme des courants sortant d’un nœud.
- Les résistances et autres composants influencent les termes des équations.
- Les équations peuvent être organisées sous forme matricielle pour simplifier la résolution.
Un système d’équations peut être exprimé sous forme matricielle :
$$\mathbf{G} \cdot \mathbf{V} = \mathbf{I}$$
| Équation | Description |
|---|---|
| \(G_{11}V_1 + G_{12}V_2 = I_1\) | Équation pour le nœud 1 |
| \(G_{21}V_1 + G_{22}V_2 = I_2\) | Équation pour le nœud 2 |
Matrices dans l’analyse nodale
Les matrices jouent un rôle crucial dans la résolution des systèmes d’équations nodales. Elles permettent de représenter de manière compacte les relations entre les résistances, les potentiels et les courants.
- Matricielle de conductance (\(\mathbf{G}\)) : Contient les conductances entre les nœuds.
- Vecteur de potentiels (\(\mathbf{V}\)) : Liste des potentiels aux nœuds.
- Vecteur de courants (\(\mathbf{I}\)) : Courants injectés aux nœuds.
Le système peut être résolu en utilisant l’inversion matricielle :
$$\mathbf{V} = \mathbf{G}^{-1} \cdot \mathbf{I}$$
| Matrice | Description |
|---|---|
| \(\mathbf{G}\) | Matricielle des conductances |
| \(\mathbf{V}\) | Vecteur des potentiels nodaux |
| \(\mathbf{I}\) | Vecteur des courants injectés |
Exemples Pratiques
Exemple 1: Analyse d’un Circuit à Deux Nœuds
Considérons un circuit avec deux résistances \(R_1 = 100\,\Omega\) et \(R_2 = 200\,\Omega\) connectées entre un nœud \(V_1\) et la masse. Un courant de \(I = 1\,A\) est injecté au nœud \(V_1\).
En appliquant les équations nodales :
$$\frac{V_1}{R_1} + \frac{V_1}{R_2} = I$$
$$\left(\frac{1}{100} + \frac{1}{200}\right)V_1 = 1$$
$$\frac{3}{200}V_1 = 1$$
$$V_1 = \frac{200}{3} \approx 66.67\,V$$
Le potentiel au nœud \(V_1\) est donc d’environ \(66.67\,V\).
Exemple 2: Circuit avec Trois Nœuds
Analysons un circuit comprenant trois résistances \(R_1 = 50\,\Omega\), \(R_2 = 150\,\Omega\), et \(R_3 = 100\,\Omega\) entre les nœuds \(V_1\), \(V_2\) et la masse. Un courant de \(I = 2\,A\) est injecté au nœud \(V_1\) et un courant de \(I = 1\,A\) est injecté au nœud \(V_2\).
Les équations nodales sont :
$$\frac{V_1 – V_2}{R_1} + \frac{V_1}{R_2} = 2$$
$$\frac{V_2 – V_1}{R_1} + \frac{V_2}{R_3} = 1$$
En substituant les valeurs :
$$\frac{V_1 – V_2}{50} + \frac{V_1}{150} = 2$$
$$\frac{V_2 – V_1}{50} + \frac{V_2}{100} = 1$$
Résolvant ce système, on trouve :
$$V_1 = 60\,V$$
$$V_2 = 40\,V$$
Les potentiels nodaux sont donc \(V_1 = 60\,V\) et \(V_2 = 40\,V\).