L’application des lois de Newton au centre de masse d’un système de particules simplifie considérablement l’analyse du mouvement global, en particulier lorsqu’il s’agit de systèmes complexes soumis à des forces externes.
Application des lois de newton : centre de masse
Le concept de centre de masse est crucial lorsqu’on applique les lois de Newton à un système constitué de plusieurs particules. Pour un système de \(N\) particules de masses \(m_i\) et de positions \(\vec{r}_i\) (où \(i = 1, 2, …, N\)), la position du centre de masse \(\vec{R}_{CM}\) est définie par :
\[ \vec{R}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{N} m_i \vec{r}_i \]
où \(M = \sum_{i=1}^{N} m_i\) est la masse totale du système. Un résultat fondamental, découlant de l’application des lois de Newton à chaque particule du système, est que le mouvement du centre de masse est déterminé uniquement par les forces externes agissant sur le système. Plus précisément, la deuxième loi de Newton appliquée au centre de masse s’écrit :
\[ \vec{F}_{ext, totale} = M \vec{A}_{CM} \]
où \(\vec{F}_{ext, totale} = \sum_{i=1}^{N} \vec{F}_{ext, i}\) est la somme vectorielle de toutes les forces externes agissant sur le système, et \(\vec{A}_{CM} = \frac{d^2\vec{R}_{CM}}{dt^2}\) est l’accélération du centre de masse. Les forces internes au système, c’est-à-dire les forces d’interaction entre les particules, n’affectent pas le mouvement du centre de masse. Cette simplification, issue de l’application des lois de Newton au centre de masse, est extrêmement puissante pour analyser des systèmes complexes, car elle permet de traiter le système comme s’il s’agissait d’une seule particule de masse \(M\) située au centre de masse et soumise à la force externe résultante.
Exemples sur Application des lois de newton : centre de masse
Illustration 1: Collision de deux blocs. Le centre de masse du système se déplace en mouvement rectiligne uniforme avant, pendant et après la collision, en l’absence de forces externes résultantes, illustrant l’application des lois de Newton au centre de masse.
Exemple d’exercice:
Deux blocs, de masses \(m_1 = 2\) kg et \(m_2 = 3\) kg, se déplacent sur une surface horizontale sans frottement. Le bloc 1 a une vitesse initiale \(v_{1i} = 5\) m/s vers la droite, et le bloc 2 est initialement au repos (\(v_{2i} = 0\)). Ils entrent en collision. En supposant une collision inélastique où les deux blocs restent attachés après la collision, calculer la vitesse du centre de masse du système avant et après la collision, en utilisant l’application des lois de Newton et le concept de centre de masse.
- Calculer la vitesse du centre de masse avant la collision.
- Calculer la vitesse du centre de masse après la collision (puisque les blocs restent attachés, ils ont la même vitesse finale).
- Vérifier que la vitesse du centre de masse est conservée pendant la collision, en l’absence de forces externes.
Solution:
- Vitesse du centre de masse avant la collision : \[ v_{CM, i} = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} = \frac{(2 \text{ kg})(5 \text{ m/s}) + (3 \text{ kg})(0 \text{ m/s})}{2 \text{ kg} + 3 \text{ kg}} = \frac{10 \text{ kg} \cdot \text{m/s}}{5 \text{ kg}} = 2 \text{ m/s} \]
- Vitesse du centre de masse après la collision : Puisque la quantité de mouvement totale est conservée (en absence de forces externes), et que les deux blocs se déplacent ensemble après la collision avec une vitesse finale \(v_f\), on a : \[ m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = (m_1 + m_2) v_f \] \[ v_f = \frac{m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i}}{m_1 + m_2} = v_{CM, i} = 2 \text{ m/s} \] Ainsi, la vitesse du centre de masse après la collision est également \(2 \text{ m/s}\).
- Conservation de la vitesse du centre de masse : On observe que \(v_{CM, i} = v_f = 2 \text{ m/s}\). La vitesse du centre de masse est conservée pendant la collision. Ceci illustre que, pour un système isolé (sans forces externes résultantes), le centre de masse se déplace en mouvement rectiligne uniforme, conformément à la première loi de Newton appliquée au centre de masse. L’application des lois de Newton au centre de masse simplifie l’analyse en se concentrant sur le mouvement global du système, indépendamment des interactions internes lors de la collision.
Illustration 2: Système de deux masses rigides reliées et soumises à une force externe. L’accélération du centre de masse est donnée par \(\vec{A}_{CM} = \vec{F}_{ext} / (m_1 + m_2)\), conformément à l’application des lois de Newton au centre de masse.
Exemple d’exercice:
Deux masses, \(m_1 = 1\) kg et \(m_2 = 2\) kg, sont reliées par une tige rigide de masse négligeable. Une force externe horizontale de \(F_{ext} = 6\) N est appliquée à la masse \(m_2\). En utilisant l’application des lois de Newton et le concept de centre de masse, déterminer :
- L’accélération du centre de masse du système.
- La magnitude de la force interne de tension dans la tige reliant les deux masses.
Solution:
- Accélération du centre de masse : En appliquant les lois de Newton au centre de masse, l’accélération du centre de masse est donnée par \(\vec{A}_{CM} = \frac{\vec{F}_{ext, totale}}{M}\), où \(M = m_1 + m_2 = 1 \text{ kg} + 2 \text{ kg} = 3 \text{ kg}\). Donc, \(A_{CM} = \frac{F_{ext}}{M} = \frac{6 \text{ N}}{3 \text{ kg}} = 2 \text{ m/s}^2\). L’accélération du centre de masse est de \(2 \text{ m/s}^2\) dans la direction de la force externe.
- Force interne de tension dans la tige : Pour trouver la force de tension \(T\) dans la tige, considérons la deuxième loi de Newton appliquée uniquement à la masse \(m_1\). La seule force horizontale agissant sur \(m_1\) est la tension \(T\) exercée par la tige. Donc, \(T = m_1 A_{CM} = (1 \text{ kg}) \times (2 \text{ m/s}^2) = 2 \text{ N}\). La tension dans la tige est de \(2 \text{ N}\). On peut vérifier en considérant la masse \(m_2\). Les forces horizontales sur \(m_2\) sont \(F_{ext}\) et la tension \(-T\) (car la tension sur \(m_2\) est dans la direction opposée à celle sur \(m_1\)). Donc, \(F_{ext} – T = m_2 A_{CM} \implies 6 \text{ N} – T = (2 \text{ kg}) \times (2 \text{ m/s}^2) = 4 \text{ N} \implies T = 6 \text{ N} – 4 \text{ N} = 2 \text{ N}\). Les deux approches donnent le même résultat pour la tension, ce qui confirme la cohérence de l’application des lois de Newton.