Cet article explore les notions d’image, d’image réciproque et d’antécédent d’une application (ou fonction), des concepts essentiels en mathématiques de niveau supérieur.
Application (ou fonction) : image, image réciproque, antécédent
Soit \(f : A \to B\) une application. L’image d’un élément \(x \in A\) par \(f\) est l’élément \(f(x) \in B\). L’image d’une partie \(C \subset A\) par \(f\), notée \(f(C)\), est l’ensemble des images des éléments de \(C\) : \(f(C) = \{f(x) \mid x \in C\} \subset B\). L’image réciproque (ou préimage) d’une partie \(D \subset B\) par \(f\), notée \(f^{-1}(D)\), est l’ensemble des éléments de \(A\) dont l’image par \(f\) appartient à \(D\) : \(f^{-1}(D) = \{x \in A \mid f(x) \in D\} \subset A\). Si \(y \in B\), un antécédent de \(y\) par \(f\) est un élément \(x \in A\) tel que \(f(x) = y\). Un élément de \(B\) peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Exemples sur « Application (ou fonction) : image, image réciproque, antécédent »
1. Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x^2\).
– L’image de 2 est \(f(2) = 4\).
– L’image de \([-1, 1]\) est \([0, 1]\).
– L’image réciproque de \(\{4\}\) est \(\{-2, 2\}\).
– L’image réciproque de \([1, 4]\) est \([-2, -1] \cup [1, 2]\).
– Les antécédents de 4 sont -2 et 2.
– 0 a un seul antécédent qui est 0.
– -1 n’a pas d’antécédent réel.
2. Soit \(g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) définie par \(g(n) = 2n\).
– L’image de 3 est \(g(3) = 6\).
– L’image de \(\{1, 2, 3\}\) est \(\{2, 4, 6\}\).
– L’image réciproque de \(\{4\}\) est \(\{2\}\).
– L’image réciproque de \(\{1, 3, 5\}\) est \(∅\).
– 6 a un seul antécédent qui est 3.
– 5 n’a pas d’antécédent dans \(\mathbb{N}\).
3. Soit \(h : \{a, b, c\} \to \{1, 2\}\) définie par \(h(a) = 1\), \(h(b) = 2\) et \(h(c) = 1\).
– L’image de \(a\) est 1.
– L’image de \(\{a, c\}\) est \(\{1\}\).
– L’image réciproque de \(\{2\}\) est \(\{b\}\).
– Les antécédents de 1 sont \(a\) et \(c\).