L’argument d’un nombre complexe est une notion fondamentale dans l’étude des nombres complexes, offrant une perspective géométrique essentielle à leur compréhension. Cet article explore la définition de l’argument et propose des exemples pour illustrer son calcul.
Argument d’un nombre complexe
Soit un nombre complexe \(z\) non nul, écrit sous sa forme algébrique \(z = a + bi\), où \(a\) et \(b\) sont des nombres réels. L’argument de z, noté \(\arg(z)\), est l’angle \(\theta\) formé entre l’axe réel positif et la droite reliant l’origine au point représentant \(z\) dans le plan complexe.
Cet angle est mesuré dans le sens trigonométrique (antihoraire) et est généralement exprimé en radians. Il est défini à \(2\pi\) près. Autrement dit, si \(\theta\) est un argument de \(z\), alors \(\theta + 2k\pi\), où \(k\) est un entier relatif, est aussi un argument de \(z\).
Pour déterminer l’argument principal, c’est-à-dire la valeur unique de \(\theta\) dans l’intervalle \(]-\pi, \pi]\), on utilise les relations suivantes :
- Si \(a > 0\), \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)
- Si \(a < 0\) et \(b \ge 0\), \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi\)
- Si \(a < 0\) et \(b < 0\), \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \pi\)
- Si \(a = 0\) et \(b > 0\), \(\theta = \frac{\pi}{2}\)
- Si \(a = 0\) et \(b < 0\), \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)
Il est important de noter que \(\arctan\) est la fonction arc tangente, qui renvoie une valeur dans l’intervalle \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\).
Exemples sur Argument d’un nombre complexe
Exemple 1 :
Trouver l’argument principal du nombre complexe \(z = 1 + i\).
Solution :
On a \(a = 1\) et \(b = 1\). Puisque \(a > 0\), on utilise la formule \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\).
\(\theta = \arctan\left(\frac{1}{1}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4}\)
L’argument principal de \(z\) est \(\frac{\pi}{4}\).
Exemple 2 :
Trouver l’argument principal du nombre complexe \(z = -1 + i\sqrt{3}\).
Solution :
On a \(a = -1\) et \(b = \sqrt{3}\). Puisque \(a < 0\) et \(b \ge 0\), on utilise la formule \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) + \pi\).
\(\theta = \arctan\left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right) + \pi = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}\)
L’argument principal de \(z\) est \(\frac{2\pi}{3}\).
Exemple 3 :
Trouver l’argument du nombre complexe \(z = -2 – 2i\).
Solution :
On a \(a = -2\) et \(b = -2\). Puisque \(a < 0\) et \(b < 0\), on utilise la formule \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) - \pi\).
\(\theta = \arctan\left(\frac{-2}{-2}\right) – \pi = \arctan(1) – \pi = \frac{\pi}{4} – \pi = -\frac{3\pi}{4}\)
L’argument principal de \(z\) est \(-\frac{3\pi}{4}\).
L’argument peut aussi être exprimé comme \(\frac{5\pi}{4}\) (en ajoutant \(2\pi\)).