Cet article présente l’axiome du choix, son énoncé, ses implications et son lien avec le lemme de Zorn, des notions importantes en mathématiques de niveau supérieur.
Axiome du choix: Énoncé et implications, lemme de Zorn
L’axiome du choix est un axiome de la théorie des ensembles qui affirme que pour toute collection d’ensembles non vides, il existe une fonction de choix qui sélectionne un élément dans chacun de ces ensembles. Formellement, si \(X\) est un ensemble d’ensembles non vides, alors il existe une fonction \(f : X \to \bigcup_{A \in X} A\) telle que pour tout \(A \in X\), \(f(A) \in A\). L’axiome du choix a de nombreuses implications importantes, notamment le lemme de Zorn, qui est équivalent à l’axiome du choix. Le lemme de Zorn affirme que si un ensemble ordonné \(E\) est tel que toute chaîne (sous-ensemble totalement ordonné) de \(E\) admet un majorant dans \(E\), alors \(E\) admet au moins un élément maximal.
Exemples et implications de l’axiome du choix et du lemme de Zorn
L’axiome du choix, bien qu’intuitivement plausible, a des conséquences surprenantes et parfois non-intuitives. Il est utilisé pour démontrer des résultats importants en mathématiques, notamment :
1. Tout espace vectoriel admet une base. Ce résultat n’est pas démontrable sans l’axiome du choix, en particulier pour les espaces vectoriels de dimension infinie.
2. Le théorème de Hahn-Banach (forme analytique) : un résultat fondamental en analyse fonctionnelle qui permet d’étendre des fonctionnelles linéaires définies sur un sous-espace vectoriel à l’espace vectoriel tout entier.
3. L’existence d’ensembles non mesurables au sens de Lebesgue. Ceci est un résultat contre-intuitif qui montre que l’axiome du choix peut mener à des situations paradoxales.
4. Le paradoxe de Banach-Tarski : un résultat très surprenant qui affirme qu’il est possible de découper une sphère en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux sphères identiques à la sphère originale. Ce paradoxe repose de manière cruciale sur l’axiome du choix.
Le lemme de Zorn est souvent utilisé comme un outil plus pratique que l’axiome du choix pour démontrer l’existence d’objets mathématiques. Il est notamment utilisé dans les démonstrations du théorème de Hahn-Banach, du théorème de Tychonoff (sur la compacité du produit d’espaces compacts), et de l’existence de bases pour les espaces vectoriels.