Le Binôme de Newton est une formule fondamentale en mathématiques qui permet de développer des expressions de la forme \((a + b)^n\). Cette formule est largement utilisée dans les domaines de l’algèbre, de l’analyse et des probabilités.
Binôme de Newton
Le Binôme de Newton s’exprime par la formule suivante :
\[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \]
où \(\binom{n}{k}\) est le coefficient binomial, qui se calcule par :
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
Cette formule permet de développer rapidement des puissances de binômes sans avoir à effectuer des multiplications répétitives.
Exemples sur Binôme de Newton
Prenons un exemple concret pour illustrer l’utilisation du Binôme de Newton. Considérons l’expression \((x + 2)^3\).
En appliquant la formule, nous obtenons :
\[ (x + 2)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} x^{3-k} 2^k \]
Calculons chaque terme :
\[ \begin{align*} \binom{3}{0} x^{3-0} 2^0 &= 1 \cdot x^3 \cdot 1 = x^3 \\ \binom{3}{1} x^{3-1} 2^1 &= 3 \cdot x^2 \cdot 2 = 6x^2 \\ \binom{3}{2} x^{3-2} 2^2 &= 3 \cdot x \cdot 4 = 12x \\ \binom{3}{3} x^{3-3} 2^3 &= 1 \cdot 1 \cdot 8 = 8 \\ \end{align*} \]
En additionnant tous les termes, nous obtenons :
\[ (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
Un autre exemple serait de développer \((1 + y)^4\) :
\[ (1 + y)^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} 1^{4-k} y^k \]
En développant, nous obtenons :
\[ (1 + y)^4 = 1 + 4y + 6y^2 + 4y^3 + y^4 \]
Ces exemples montrent comment le Binôme de Newton simplifie le développement des puissances de binômes.