Primitives
L’intégration est l’opération inverse de la dérivation. Une primitive d’une fonction \( f \) est une fonction \( F \) telle que \( F’ = f \). En d’autres termes, \( F \) est une antiderivée de \( f \).
Les primitives sont essentielles en calcul pour résoudre les équations différentielles et en physique pour déterminer la quantité de mouvement ou l’énergie.
Intégration par parties
L’intégration par parties est une technique qui découle de la règle de dérivation du produit. Elle est utilisée pour intégrer des produits de fonctions.
Cette méthode est particulièrement utile lorsque l’intégrale directe est difficile à évaluer. Par exemple, pour intégrer \( x e^x \), on choisit \( u = x \) et \( dv = e^x dx \).
Changement de variables
Le changement de variables est une technique utilisée pour simplifier une intégrale en la transformant en une intégrale plus simple.
Le choix approprié de \( u \) peut transformer une intégrale complexe en une intégrale plus simple à évaluer.
Tableau des primitives usuelles
| Fonction \( f(x) \) | Primitive \( F(x) \) |
|---|---|
| \( 1 \) | \( x + C \) |
| \( x^n \), \( n \neq -1 \) | \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) |
| \( e^x \) | \( e^x + C \) |
| \( \sin(x) \) | \( -\cos(x) + C \) |
| \( \cos(x) \) | \( \sin(x) + C \) |
Le tableau ci-dessus présente certaines primitives usuelles qui sont fréquemment utilisées en calcul.
Il est important de noter que certaines fonctions, comme \( \frac{1}{x} \), nécessitent des techniques spéciales pour trouver leur primitive.