Cet article explore la notion de cardinal d’un ensemble, qu’il soit fini ou infini, un concept fondamental en mathématiques de niveau supérieur.
Cardinal d’un ensemble (fini, infini)
Le cardinal d’un ensemble \(E\), noté \(|E|\) (ou parfois card(\(E\)) ou #\(E\)), représente le « nombre d’éléments » de l’ensemble. Si \(E\) est un ensemble fini, son cardinal est un entier naturel. Si \(E\) est infini, son cardinal est un nombre infini, généralement représenté par le symbole \(\aleph_0\) (aleph-zéro) pour les ensembles infinis dénombrables, et par \(c\) (cardinal du continu) pour l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\). Deux ensembles ont le même cardinal s’il existe une bijection entre eux.
Exemples sur « Cardinal d’un ensemble (fini, infini) »
1. Soit \(A = \{1, 2, 3\}\). Alors \(|A| = 3\).
2. Soit \(B = \{a, b, c, d\}\). Alors \(|B| = 4\).
3. Soit \(C = ∅\). Alors \(|C| = 0\).
4. Soit \(D = \mathbb{N}\) (l’ensemble des entiers naturels). Alors \(|D| = \aleph_0\). L’ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\), l’ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) ont également un cardinal égal à \(\aleph_0\). Ces ensembles sont dits dénombrables.
5. Soit \(E = \mathbb{R}\) (l’ensemble des nombres réels). Alors \(|E| = c\). L’ensemble des nombres réels n’est pas dénombrable. Son cardinal est strictement supérieur à \(\aleph_0\).
6. L’intervalle \(]0, 1[\) a le même cardinal que \(\mathbb{R}\), c’est-à-dire \(c\). Il existe une bijection entre \(]0, 1[\) et \(\mathbb{R}\), par exemple la fonction \(f(x) = \tan(\pi(x – \frac{1}{2}))\).