Le changement d’indice dans les sommes et produits est une technique mathématique essentielle pour simplifier et manipuler des expressions complexes. Il permet de réécrire des sommes ou des produits en modifiant l’indice de sommation ou de produit sans en altérer la valeur.
Changement d’indice dans les sommes et produits
Le changement d’indice consiste à réécrire une somme ou un produit en remplaçant l’indice de départ par une nouvelle variable. Cela est souvent utile pour simplifier des expressions ou les adapter à une forme plus pratique. Pour une somme, cela s’écrit :
\[ \sum_{i=a}^{b} f(i) = \sum_{j=a+k}^{b+k} f(j – k) \]
où \(j = i + k\) est la nouvelle variable d’indice. De même, pour un produit, on a :
\[ \prod_{i=a}^{b} f(i) = \prod_{j=a+k}^{b+k} f(j – k) \]
Cette technique est particulièrement utile pour aligner les indices dans des expressions complexes ou pour faire apparaître des simplifications.
Exemples sur Changement d’indice dans les sommes et produits
Prenons un exemple concret pour illustrer le changement d’indice. Considérons la somme suivante :
\[ \sum_{i=1}^{5} i^2 \]
Si nous souhaitons changer l’indice pour que \(j = i + 2\), alors \(i = j – 2\). La somme devient :
\[ \sum_{j=3}^{7} (j – 2)^2 \]
En développant, nous obtenons :
\[ \sum_{j=3}^{7} (j^2 – 4j + 4) \]
Cette transformation permet de manipuler la somme plus facilement dans certains contextes.
Un autre exemple serait de considérer le produit suivant :
\[ \prod_{k=2}^{4} (k + 3) \]
Si nous changeons l’indice pour \(m = k – 1\), alors \(k = m + 1\). Le produit devient :
\[ \prod_{m=1}^{3} (m + 4) \]
En développant, nous obtenons :
\[ (1 + 4) \times (2 + 4) \times (3 + 4) = 5 \times 6 \times 7 = 210 \]
Le changement d’indice permet ici de simplifier le calcul.
Ces exemples montrent comment le changement d’indice dans les sommes et produits est un outil puissant pour manipuler et simplifier des expressions mathématiques complexes.