Circuits RLC: série, parallèle, amortissement, oscillation
Ce cours aborde en détail les **circuits RLC**, qu’ils soient montés en série ou en parallèle, et explore les phénomènes d’amortissement et d’oscillation qui les caractérisent. Ces circuits sont fondamentaux en électronique et électrotechnique, servant de base à de nombreux systèmes, des filtres aux oscillateurs. La compréhension des **circuits RLC** est cruciale pour analyser et concevoir des circuits électriques et électroniques complexes. Nous allons utiliser MathJax pour afficher les formules mathématiques de manière lisible et précise.
Analyse des Circuits RLC en Série
Un **circuit RLC série** est constitué d’une résistance (R), d’une inductance (L) et d’une capacité (C) connectées en série. L’analyse de ce circuit implique la résolution d’une équation différentielle du second ordre. La tension aux bornes du circuit est la somme des tensions aux bornes de chaque composant. En appliquant la loi de Kirchhoff des mailles et les relations tension-courant pour chaque composant, on obtient l’équation différentielle qui décrit le comportement du circuit.
\( L\frac{d^2I}{dt^2} + R\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C}I = V(t) \)
Où :
- L est l’inductance en Henrys (H)
- R est la résistance en Ohms (Ω)
- C est la capacité en Farads (F)
- I est le courant en Ampères (A)
- V(t) est la tension d’entrée en fonction du temps
La résolution de cette équation dépend du type d’excitation (V(t)) et des conditions initiales.
Les types d’amortissement rencontrés dans les **circuits RLC en série** sont :
- Suramorti: Le circuit retourne à l’équilibre lentement sans oscillation.
- Critiquement amorti: Le circuit retourne à l’équilibre le plus rapidement possible sans oscillation.
- Sous-amorti: Le circuit oscille autour de la valeur d’équilibre avant de s’y stabiliser.
Le type d’amortissement est déterminé par le facteur d’amortissement (ζ) :
Si ζ > 1 : Suramorti, ζ = 1 : Critiquement amorti, ζ < 1 : Sous-amorti.
Exemple 1: Circuit RLC Série avec Amortissement Critique
Considérons un circuit RLC série avec R = 4 Ω, L = 1 H, et C = 0.25 F. Déterminez si le circuit est critiquement amorti, suramorti ou sous-amorti.
Solution: Nous calculons d’abord le facteur d’amortissement ζ: \( \zeta = \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} = \frac{4}{2}\sqrt{\frac{0.25}{1}} = 2 \times 0.5 = 1 \) Comme ζ = 1, le circuit est critiquement amorti. Cela signifie qu’il retournera à l’équilibre le plus rapidement possible sans oscillations.
Exemple 2: Analyse du courant dans un Circuit RLC Série
Un circuit RLC série a une résistance de 10 Ω, une inductance de 0.5 H, et une capacité de 50 μF. Il est alimenté par une source de tension de 12 V. Déterminez l’équation différentielle qui décrit le courant dans le circuit.
Solution: Nous utilisons l’équation différentielle du circuit RLC série: \( L\frac{d^2I}{dt^2} + R\frac{dI}{dt} + \frac{1}{C}I = V(t) \) En substituant les valeurs données: \( 0.5\frac{d^2I}{dt^2} + 10\frac{dI}{dt} + \frac{1}{50 \times 10^{-6}}I = 12 \) Simplifiez: \( 0.5\frac{d^2I}{dt^2} + 10\frac{dI}{dt} + 20000I = 12 \)
Analyse des Circuits RLC en Parallèle
Un **circuit RLC parallèle** est constitué d’une résistance (R), d’une inductance (L) et d’une capacité (C) connectées en parallèle. L’analyse de ce circuit est duale de celle du circuit RLC série. On analyse généralement la tension aux bornes du circuit. La somme des courants dans chaque branche est égale au courant total.
\( C\frac{d^2V}{dt^2} + \frac{1}{R}\frac{dV}{dt} + \frac{1}{L}V = I(t) \)
Où :
- L est l’inductance en Henrys (H)
- R est la résistance en Ohms (Ω)
- C est la capacité en Farads (F)
- V est la tension en Volts (V)
- I(t) est le courant d’entrée en fonction du temps
Similairement au circuit RLC série, le comportement du circuit RLC parallèle dépend du facteur d’amortissement. Cependant, la formule du facteur d’amortissement est différente.
Si ζ > 1 : Suramorti, ζ = 1 : Critiquement amorti, ζ < 1 : Sous-amorti.
Exemple 3: Circuit RLC Parallèle – Détermination de l’Amortissement
Soit un circuit RLC parallèle avec R = 2 kΩ, L = 10 mH et C = 100 nF. Déterminez le type d’amortissement du circuit.
Solution: Calculons le facteur d’amortissement : \( \zeta = \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{2 \times 2000}\sqrt{\frac{0.01}{100 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{4000}\sqrt{100000} = \frac{316.23}{4000} \approx 0.079 \) Comme ζ < 1, le circuit est sous-amorti. Il oscillera avant de se stabiliser.
Exemple 4: Analyse du Circuit RLC Parallèle – Équation Différentielle
Considérons un circuit RLC parallèle avec R = 500 Ω, L = 2 mH, et C = 20 nF. Le circuit est alimenté par une source de courant de 1 mA. Établissez l’équation différentielle qui décrit la tension aux bornes du circuit.
Solution: Nous utilisons l’équation différentielle pour le circuit RLC parallèle: \( C\frac{d^2V}{dt^2} + \frac{1}{R}\frac{dV}{dt} + \frac{1}{L}V = I(t) \) Substituons les valeurs: \( 20 \times 10^{-9}\frac{d^2V}{dt^2} + \frac{1}{500}\frac{dV}{dt} + \frac{1}{2 \times 10^{-3}}V = 1 \times 10^{-3} \) Simplifions: \( 20 \times 10^{-9}\frac{d^2V}{dt^2} + 0.002\frac{dV}{dt} + 500V = 0.001 \)
Amortissement dans les Circuits RLC
L’**amortissement** dans les **circuits RLC** décrit comment le circuit revient à l’état d’équilibre après une perturbation. Comme mentionné précédemment, il existe trois types d’amortissement: suramorti, critiquement amorti et sous-amorti. Le facteur d’amortissement (ζ) détermine le type d’amortissement.
| Type d’Amortissement | Facteur d’Amortissement (ζ) | Description |
|---|---|---|
| Suramorti | ζ > 1 | Retour lent à l’équilibre sans oscillations. |
| Critiquement amorti | ζ = 1 | Retour le plus rapide à l’équilibre sans oscillations. |
| Sous-amorti | ζ < 1 | Oscillations autour de l’équilibre avant de se stabiliser. |
L’amortissement a un impact direct sur la réponse du circuit à un signal d’entrée. Un circuit suramorti réagira lentement, tandis qu’un circuit sous-amorti réagira rapidement mais avec des oscillations.
Oscillations dans les Circuits RLC
Les **oscillations** se produisent dans les **circuits RLC** sous-amortis. La fréquence des oscillations est appelée fréquence de résonance.
\( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \)
Où :
- L est l’inductance en Henrys (H)
- C est la capacité en Farads (F)
La période des oscillations (T) est l’inverse de la fréquence (f) :
\( T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega_0} \)
L’amplitude des oscillations diminue avec le temps en raison de la résistance dans le circuit. La rapidité avec laquelle l’amplitude diminue est déterminée par le facteur d’amortissement.
| Paramètre | Formule (Série) | Formule (Parallèle) |
|---|---|---|
| Fréquence de Résonance (ω₀) | \( \frac{1}{\sqrt{LC}} \) | \( \frac{1}{\sqrt{LC}} \) |
| Facteur d’Amortissement (ζ) | \( \frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}} \) | \( \frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}} \) |
Exemple 5: Calcul de la Fréquence de Résonance et Période d’Oscillation
Un circuit RLC série a une inductance de 50 mH et une capacité de 10 nF. Calculez la fréquence de résonance et la période des oscillations.
Solution: Calculons la fréquence de résonance: \( \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{50 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{-9}}} = \frac{1}{\sqrt{5 \times 10^{-10}}} \approx \frac{1}{2.236 \times 10^{-5}} \approx 44721 \text{ rad/s} \) Calculons la période: \( T = \frac{2\pi}{\omega_0} = \frac{2\pi}{44721} \approx 1.405 \times 10^{-4} \text{ s} = 140.5 \text{ μs} \)
Applications des Circuits RLC
Les **circuits RLC** trouvent de nombreuses applications dans divers domaines de l’électronique et de l’électrotechnique :
- Filtres: Les circuits RLC sont utilisés pour concevoir des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande.
- Oscillateurs: Les circuits RLC sous-amortis sont utilisés pour créer des oscillateurs, qui génèrent des signaux périodiques.
- Circuits d’accord: Utilisés dans les radios et les téléviseurs pour sélectionner une fréquence spécifique.
- Alimentations à découpage: Utilisés pour réguler la tension et le courant dans les alimentations à découpage.
La conception des **circuits RLC** nécessite une compréhension approfondie des concepts d’amortissement, d’oscillation et de résonance. Le choix des composants (R, L, C) dépend des spécifications de l’application.
| Application | Fonction | Composants Clés |
|---|---|---|
| Filtre Passe-Bas | Atténue les hautes fréquences | R, C |
| Filtre Passe-Haut | Atténue les basses fréquences | R, C |
| Oscillateur | Génère un signal périodique | L, C, Amplificateur |