Cet article explique les notions de composition d’applications et d’application réciproque, des concepts importants en mathématiques de niveau supérieur.
Composition d’applications et application réciproque
Soient \(f : A \to B\) et \(g : B \to C\) deux applications. La composition de \(f\) et \(g\), notée \(g \circ f\), est l’application de \(A\) dans \(C\) définie par \((g \circ f)(x) = g(f(x))\) pour tout \(x \in A\). Si \(f : A \to B\) est une application bijective, alors il existe une unique application \(f^{-1} : B \to A\), appelée application réciproque (ou fonction inverse) de \(f\), telle que \(f^{-1} \circ f = id_A\) et \(f \circ f^{-1} = id_B\), où \(id_A\) et \(id_B\) sont les applications identités sur \(A\) et \(B\) respectivement.
Exemples sur « Composition d’applications et application réciproque »
1. Soient \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x) = x + 1\) et \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) définie par \(g(x) = x^2\). Alors \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)^2\) et \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2) = x^2 + 1\). Notez que \(g \circ f \ne f \circ g\) en général.
2. Soit \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\) définie par \(h(x) = e^x\). \(h\) est bijective et son application réciproque est \(h^{-1} : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}\) définie par \(h^{-1}(y) = \ln(y)\). On a bien \(h^{-1}(h(x)) = \ln(e^x) = x\) et \(h(h^{-1}(y)) = e^{\ln(y)} = y\).
3. Soit \(i : \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c\}\) définie par \(i(1) = a\), \(i(2) = b\) et \(i(3) = c\). \(i\) est bijective et son application réciproque est \(i^{-1} : \{a, b, c\} \to \{1, 2, 3\}\) définie par \(i^{-1}(a) = 1\), \(i^{-1}(b) = 2\) et \(i^{-1}(c) = 3\).