Composition de fonctions

En mathématiques, la composition de fonctions consiste à appliquer une fonction à la sortie d’une autre fonction. Si $f$ et $g$ sont deux fonctions, la composition $f \circ g$ est définie par :

(f \circ g) (x) = f (g (x))

La composition de fonctions est une opération fondamentale en analyse, permettant de combiner des fonctions pour créer de nouvelles fonctions. Voici quelques propriétés importantes :

La composition n’est pas commutative : $f \circ g \neq g \circ f$ en général.
La composition est associative : $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ .
Le domaine de $f \circ g$ est l’ensemble des $x$ dans le domaine de $g$ tels que $g (x)$ est dans le domaine de $f$ .

Exemples sur Composition de fonctions

Exemple 1 : Composition de $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$

Considérons les fonctions $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x + 1$ . La composition $f \circ g$ est donnée par :

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x + 1) = (x + 1)^{2}

Le graphe de $(f \circ g) (x)$ est une parabole décalée de 1 unité vers la gauche.

Exemple 2 : Composition de $f (x) = \sqrt{x}$ et $g (x) = x^{2}$

Considérons les fonctions $f (x) = \sqrt{x}$ et $g (x) = x^{2}$ . La composition $f \circ g$ est donnée par :

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2}) = \sqrt{x^{2}} = | x |

Le graphe de $(f \circ g) (x)$ est une fonction en valeur absolue.

Exemple 3 : Composition de $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$

Considérons les fonctions $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ . La composition $f \circ g$ est donnée par :

(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (2 x) = \sin (2 x)

Le graphe de $(f \circ g) (x)$ est une sinusoïde de période $π$ .