La condition de masse constante est une hypothèse fondamentale simplificatrice en mécanique classique, où la masse d’un système ou d’un objet est considérée invariable au cours du temps et des processus physiques étudiés. Cette approximation est cruciale pour l’application des lois de Newton et la résolution de nombreux problèmes en physique.
Condition de masse constante
En mécanique classique, la condition de masse constante implique que la masse \(m\) d’un corps ou d’un système reste inchangée, quel que soit son mouvement, les forces appliquées, ou les transformations énergétiques qu’il subit. Cette hypothèse est généralement valide tant que les vitesses considérées sont très inférieures à la vitesse de la lumière, et que les processus physiques ne modifient pas la quantité de matière constituant le système (par exemple, pas de réactions nucléaires ou de pertes significatives de matière).
Sous cette condition de masse constante, la deuxième loi de Newton prend sa forme la plus simple et la plus couramment utilisée :
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]
Où \(\vec{F}\) est la force résultante appliquée au corps, \(m\) est sa masse constante, et \(\vec{a}\) est son accélération. La simplicité de cette équation sous la condition de masse constante permet d’analyser une multitude de situations, allant du mouvement des projectiles à l’oscillation des systèmes mécaniques.
Il est important de noter que la condition de masse constante est une approximation. En relativité restreinte, la masse d’un corps augmente avec sa vitesse. Cependant, pour la plupart des phénomènes étudiés en mécanique classique et même dans de nombreux domaines de la physique appliquée, les vitesses sont suffisamment faibles pour que la variation de masse soit négligeable et que la condition de masse constante reste une approximation très précise et utile. Ignorer cette condition nécessiterait de considérer la forme plus générale de la deuxième loi de Newton en termes de quantité de mouvement, \(\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\), où \(\vec{p} = m\vec{v}\), et de prendre en compte la possible variation de \(m\) avec le temps ou d’autres paramètres.
Dans le cadre de la condition de masse constante, la conservation de la masse est également un principe fondamental. La masse totale d’un système isolé reste constante au cours du temps. Cette conservation, combinée à la simplicité des équations de mouvement, facilite grandement l’analyse des systèmes physiques et la prédiction de leur comportement.
Exemples sur Condition de masse constante
Illustration 1: Mouvement d’un projectile lancé avec une vitesse initiale \(\vec{v}_0\) dans un champ gravitationnel uniforme \(\vec{g}\). L’analyse de ce mouvement suppose la condition de masse constante pour le projectile.
Exemple d’exercice:
Un projectile de masse \(m = 0.5\) kg est lancé depuis le sol avec une vitesse initiale de \(v_0 = 20\) m/s et un angle de \(30^\circ\) par rapport à l’horizontale. En négligeant la résistance de l’air et en supposant la condition de masse constante, déterminer :
- La portée horizontale maximale du projectile.
- La hauteur maximale atteinte par le projectile.
- Le temps de vol total du projectile.
Solution:
- Portée horizontale maximale : Sous la condition de masse constante et en négligeant la résistance de l’air, le mouvement du projectile est décrit par les équations de la balistique. La portée horizontale \(R\) est donnée par \(R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}\), où \(\theta\) est l’angle de lancement. Avec \(v_0 = 20\) m/s, \(\theta = 30^\circ\), et \(g = 9.8\) m/s\(^2\), on a \(R = \frac{(20 \text{ m/s})^2 \sin(60^\circ)}{9.8 \text{ m/s}^2} \approx \frac{400 \times 0.866}{9.8} \approx 35.35 \text{ m}\).
- Hauteur maximale : La hauteur maximale \(H\) atteinte est donnée par \(H = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g}\). \(H = \frac{(20 \text{ m/s})^2 \sin^2(30^\circ)}{2 \times 9.8 \text{ m/s}^2} = \frac{400 \times (0.5)^2}{19.6} = \frac{100}{19.6} \approx 5.10 \text{ m}\).
- Temps de vol total : Le temps de vol \(T\) est donné par \(T = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g}\). \(T = \frac{2 \times (20 \text{ m/s}) \sin(30^\circ)}{9.8 \text{ m/s}^2} = \frac{40 \times 0.5}{9.8} = \frac{20}{9.8} \approx 2.04 \text{ s}\).
Illustration 2: Système masse-ressort vertical. L’étude des oscillations harmoniques de la masse autour de sa position d’équilibre repose sur la condition de masse constante.
Exemple d’exercice:
Un bloc de masse \(m = 2\) kg est suspendu à un ressort vertical de constante de raideur \(k = 100\) N/m. En supposant la condition de masse constante et en négligeant les frottements, déterminer :
- La fréquence angulaire des oscillations verticales du système.
- La période des oscillations.
- Si le bloc est initialement tiré de 0.1 m vers le bas à partir de sa position d’équilibre et relâché sans vitesse initiale, écrire l’équation du mouvement vertical du bloc.
Solution:
- Fréquence angulaire : Pour un système masse-ressort idéal sous la condition de masse constante, la fréquence angulaire \(\omega\) des oscillations harmoniques est donnée par \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\). \(\omega = \sqrt{\frac{100 \text{ N/m}}{2 \text{ kg}}} = \sqrt{50} \text{ rad/s} \approx 7.07 \text{ rad/s}\).
- Période des oscillations : La période \(T\) est reliée à la fréquence angulaire par \(T = \frac{2\pi}{\omega}\). \(T = \frac{2\pi}{\sqrt{50}} \text{ s} \approx \frac{2\pi}{7.07} \text{ s} \approx 0.889 \text{ s}\).
- Équation du mouvement : Avec la condition initiale \(y(0) = 0.1\) m (déplacement initial vers le bas) et \(v(0) = 0\) (vitesse initiale nulle), et en prenant la direction vers le bas comme positive, l’équation du mouvement est de la forme \(y(t) = A \cos(\omega t + \phi)\). Avec les conditions initiales, on trouve \(A = 0.1\) m et \(\phi = 0\). Donc, l’équation du mouvement est \(y(t) = (0.1 \text{ m}) \cos(\sqrt{50} t)\) ou approximativement \(y(t) = (0.1 \text{ m}) \cos(7.07 t)\).