Continuité sur un intervalle
Définitions et Propriétés
Définition : Une fonction \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) est dite continue sur un intervalle \( I \) si elle est continue en chaque point de cet intervalle.
Autrement dit, pour tout \( a \in I \), on a :
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)
Propriétés (Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle) :
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues sur un intervalle \( I \). Alors :
- La somme \( f + g \) est continue sur \( I \).
- La différence \( f – g \) est continue sur \( I \).
- Le produit \( f \cdot g \) est continue sur \( I \).
- Le produit par un scalaire \( k \cdot f \) (où \( k \) est une constante) est continue sur \( I \).
- Si \( g(x) \neq 0 \) pour tout \( x \in I \), alors le quotient \( \frac{f}{g} \) est continue sur \( I \).
- La composition de deux fonctions continues est continue : si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur \( J \) avec \( f(I) \subset J \), alors \( g \circ f \) est continue sur \( I \).
Propriété (Fonctions usuelles) :
Les fonctions suivantes sont continues sur leurs domaines de définition :
- Les fonctions polynômiales (par exemple \( x \mapsto x^2 + 3x – 1 \)).
- Les fonctions rationnelles (quotients de polynômes) sur leurs domaines de définition.
- Les fonctions trigonométriques \( \sin(x) \), \( \cos(x) \).
- La fonction exponentielle \( x \mapsto e^x \).
- La fonction logarithme \( x \mapsto \ln(x) \) sur ]0,\(\infty\)[
- La fonction racine carrée \( x \mapsto \sqrt{x} \) sur [0, \(\infty\)[.
Exemples sur la Continuité sur un intervalle
Exercice 1 (Difficile) :
Étudier la continuité sur \( \mathbb{R} \) de la fonction \( f \) définie par :
\( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 2x & \text{si } x > 1 \end{cases} \)
Solution détaillée :
La fonction \( f \) est définie par morceaux. Pour étudier la continuité sur \( \mathbb{R} \), nous devons examiner la continuité sur chaque intervalle et au point de jonction \( x = 1 \).
Sur l’intervalle \( ]-\infty, 1[ \), \( f(x) = x^2 + 1 \) qui est une fonction polynomiale donc continue.
Sur l’intervalle \( ]1, +\infty[ \), \( f(x) = 2x \) qui est une fonction polynomiale donc continue.
Il reste à étudier la continuité en \( x=1 \). Pour cela, nous devons calculer les limites à gauche et à droite en \( x=1 \), ainsi que la valeur de la fonction en ce point.
Limite à gauche :
\( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 \)
Limite à droite :
\( \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (2x) = 2 \cdot 1 = 2 \)
La valeur de \( f(1) \) est \( f(1) = 1^2 + 1 = 2 \).
Puisque \( \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2 \), la fonction \( f \) est continue en \( x=1 \).
Par conséquent, \( f \) est continue sur \( \mathbb{R} \).
Exercice 2 (Difficile) :
Étudier la continuité sur son domaine de définition de la fonction \( g \) définie par :
\( g(x) = \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} \)
Solution détaillée :
Le domaine de définition de \( g \) est \( D_g = [-1, \infty[ \setminus \{0\} \) car il faut que \( x+1 \geq 0 \) et \( x \neq 0 \).
Pour \( x \neq 0 \), \( g(x) \) est une fonction composée de fonctions continues (racine, addition, division). Cependant, \( g \) n’est pas définie en \( x = 0 \) il faut donc vérifier si \( g \) admet un prolongement par continuité en \( 0 \).
Calculons la limite lorsque \( x \) tend vers \( 0 \) :
\( \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} \)
Pour lever l’indétermination, nous multiplions par l’expression conjuguée \( \sqrt{x+1}+1 \):
\( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1} – 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + 1}{\sqrt{x+1} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{(x+1) – 1}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} \)
On simplifie par \( x \):
\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} = \frac{1}{\sqrt{0+1}+1} = \frac{1}{2} \)
Puisque la limite en \( 0 \) existe, la fonction est prolongeable par continuité en \( 0 \). Donc, la fonction \( g \) est continue sur \( D_g = [-1, \infty[ \setminus \{0\} \) et son prolongement est continue sur \([-1, +\infty[\).
Tableau résumé des propriétés essentielles :
| Concept | Description |
|---|---|
| Définition | Continuité en chaque point de l’intervalle. |
| Opérations sur fonctions continues | Somme, différence, produit, quotient (si défini), et composition de fonctions continues sont continues sur l’intervalle. |
| Fonctions usuelles continues | Polynômes, fonctions rationnelles, trigonométriques, exponentielles, logarithmes sur leurs domaines. |
| Continuité en un point de jonction | Nécessite l’égalité des limites à gauche et à droite et de la valeur de la fonction en ce point. |