Continuité en un point d’une fonction
Définitions et Théorèmes
Définition : Une fonction \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) est dite continue en un point \( a \in I \) si :
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)
où \( I \) est un intervalle de \( \mathbb{R} \) et \( a \) est un point intérieur à \( I \). Autrement dit, la limite de \( f \) lorsque \( x \) tend vers \( a \) existe et est égale à la valeur de la fonction en \( a \).
Définition (équivalente) : Une fonction \( f : I \rightarrow \mathbb{R} \) est continue en un point \( a \in I \) si, pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe \( \delta > 0 \) tel que :
\( |x – a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \epsilon \)
Théorème : Si une fonction \( f \) est dérivable en un point \( a \), alors elle est continue en \( a \). La réciproque est fausse : il existe des fonctions continues en un point qui ne sont pas dérivables en ce point (par exemple, la fonction valeur absolue en \( 0 \)).
Théorème (Opérations sur les fonctions continues) :
Soient \( f \) et \( g \) deux fonctions continues en un point \( a \). Alors :
- \( f + g \) est continue en \( a \).
- \( f – g \) est continue en \( a \).
- \( kf \) (où \( k \) est une constante) est continue en \( a \).
- \( fg \) est continue en \( a \).
- Si \( g(a) \neq 0 \), \( \frac{f}{g} \) est continue en \( a \).
Exemples sur la Continuité en un point d’une fonction
Exercice 1 (Difficile) :
Étudier la continuité de la fonction \( f \) définie par :
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 – 4}{x – 2} & \text{si } x \neq 2 \\ 4 & \text{si } x = 2 \end{cases} \)
au point \( x = 2 \).
Solution détaillée :
Pour étudier la continuité de \( f \) en \( x = 2 \), nous devons calculer la limite de \( f(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 2 \) et vérifier si cette limite est égale à \( f(2) \).
Pour \( x \neq 2 \), nous avons :
\( f(x) = \frac{x^2 – 4}{x – 2} = \frac{(x – 2)(x + 2)}{x – 2} \)
Pour \( x \neq 2 \), on peut simplifier par \( x-2 \) :
\( f(x) = x + 2 \)
Calculons la limite de \( f(x) \) quand \( x \) tend vers \( 2 \) :
\( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \)
Puisque \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \) et que \( f(2) = 4 \), nous avons \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) \). Par conséquent, la fonction \( f \) est continue en \( x = 2 \).
Exercice 2 (Difficile) :
Soit la fonction \( g \) définie par :
\( g(x) = \begin{cases} \frac{\sin(x)}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
Étudier la continuité de \( g \) en \( x=0 \).
Solution détaillée :
Pour étudier la continuité de \( g \) en \( x = 0 \), nous devons vérifier si la limite de \( g(x) \) lorsque \( x \) tend vers \( 0 \) est égale à \( g(0) \).
Pour \( x \neq 0 \), nous avons \( g(x) = \frac{\sin(x)}{x} \). Calculons la limite lorsque \( x \) tend vers \( 0 \) :
\( \lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)
Il est bien connu que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \).
Puisque \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \) et \( g(0) = 1 \), alors \( \lim_{x \to 0} g(x) = g(0) \).
Par conséquent, la fonction \( g \) est continue en \( x = 0 \).
Tableau résumé des propriétés essentielles :
| Concept | Description |
|---|---|
| Définition | Limite égale à la valeur de la fonction en un point. |
| Condition \( \epsilon \) – \( \delta \) | Pour tout \( \epsilon > 0 \), il existe \( \delta > 0 \) qui vérifie la définition. |
| Théorème (Dérivabilité implique continuité) | Si une fonction est dérivable, elle est continue en ce point. |
| Opérations sur fonctions continues | Somme, différence, produit et quotient (si défini) sont continues. |