Dans cette analyse, nous allons étudier les Coordonnées polaires et curvilignes (ou repère de Frenet), deux systèmes de coordonnées alternatifs aux coordonnées cartésiennes, particulièrement utiles pour décrire des mouvements complexes en physique, notamment au niveau universitaire.
Coordonnées polaires et curvilignes (ou repère de Frenet)
1. Coordonnées polaires (2D) :
Les coordonnées polaires sont un système de coordonnées bidimensionnel où chaque point du plan est déterminé par une distance \(r\) par rapport à un point de référence (l’origine) et un angle \(\theta\) par rapport à une direction de référence (généralement l’axe x positif).
- \(r\) : La coordonnée radiale ( \(r \ge 0\) ). C’est la distance entre le point et l’origine.
- \(\theta\) : La coordonnée angulaire ( \(0 \le \theta < 2\pi\) ou \(-\pi < \theta \le \pi\) ). C’est l’angle entre l’axe de référence et le segment reliant l’origine au point.
La relation entre les coordonnées cartésiennes (\(x, y\)) et les coordonnées polaires (\(r, \theta\)) est :
\( x = r\cos\theta \)
\( y = r\sin\theta \)
Inversement:
\(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)
\(\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\) (en tenant compte du quadrant)
Les vecteurs unitaires en coordonnées polaires, \(\hat{e}_r\) et \(\hat{e}_\theta\), sont définis comme suit:
- \(\hat{e}_r\) : Pointe radialement vers l’extérieur, dans la direction d’augmentation de \(r\).
- \(\hat{e}_\theta\) : Est perpendiculaire à \(\hat{e}_r\), dans la direction d’augmentation de \(\theta\) (sens antihoraire).
Contrairement aux vecteurs unitaires cartésiens (\(\hat{i}, \hat{j}\)), les vecteurs unitaires polaires *dépendent* de la position (de l’angle \(\theta\)). Leurs dérivées temporelles sont:
\(\frac{d\hat{e}_r}{dt} = \dot{\theta}\hat{e}_\theta\)
\(\frac{d\hat{e}_\theta}{dt} = -\dot{\theta}\hat{e}_r\)
La vitesse et l’accélération en coordonnées polaires s’expriment comme suit:
\( \vec{v} = \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\theta}\hat{e}_\theta \)
\( \vec{a} = (\ddot{r} – r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta \)
2. Coordonnées curvilignes (Repère de Frenet) :
Le repère de Frenet est un système de coordonnées *intrinsèque*, ce qui signifie qu’il est attaché à la courbe elle-même, et non à un système de coordonnées externe fixe. Il est particulièrement utile pour décrire le mouvement d’un point le long d’une trajectoire courbe *quelconque* (en 2D ou 3D).
Soit une courbe paramétrée par l’abscisse curviligne \(s\) (la longueur de l’arc de la courbe à partir d’un point de référence). Le repère de Frenet est défini par trois vecteurs unitaires orthogonaux :
- \(\hat{T}\) (vecteur tangent) : Tangent à la courbe au point considéré, orienté dans le sens du mouvement. \(\hat{T} = \frac{d\vec{r}}{ds}\), où \(\vec{r}(s)\) est le vecteur position.
- \(\hat{N}\) (vecteur normal) : Perpendiculaire à \(\hat{T}\), dirigé vers le centre de courbure de la courbe. \(\hat{N} = \frac{1}{\kappa}\frac{d\hat{T}}{ds}\), où \(\kappa\) est la courbure de la courbe.
- \(\hat{B}\) (vecteur binormal) : Perpendiculaire à \(\hat{T}\) et \(\hat{N}\), formant un trièdre direct (\(\hat{B} = \hat{T} \times \hat{N}\)). En 2D, \(\hat{B}\) est constant et perpendiculaire au plan de la courbe.
La courbure (\(\kappa\)) est l’inverse du rayon de courbure (\(R\)) : \(\kappa = \frac{1}{R}\). Elle mesure la rapidité avec laquelle la courbe change de direction.
La vitesse et l’accélération dans le repère de Frenet sont :
\( \vec{v} = v\hat{T} \) (où \(v = \frac{ds}{dt} = \dot{s}\) est la vitesse scalaire)
\( \vec{a} = \frac{dv}{dt}\hat{T} + \frac{v^2}{R}\hat{N} = \dot{v}\hat{T} + v^2\kappa\hat{N}\)
L’accélération a deux composantes :
- L’accélération tangentielle (\(\dot{v}\hat{T}\)) : Représente la variation de la *norme* de la vitesse.
- L’accélération normale (\(v^2\kappa\hat{N}\) ou \(\frac{v^2}{R}\hat{N}\)) : Représente la variation de la *direction* de la vitesse. Elle est toujours dirigée vers le centre de courbure.
Exemples sur Coordonnées polaires et curvilignes (ou repère de Frenet)
Exemple 1 : Mouvement circulaire uniforme
Un point matériel décrit un cercle de rayon \(R\) à une vitesse angulaire constante \(\omega\). Décrivez le mouvement en coordonnées polaires et trouvez la vitesse et l’accélération.
Solution :
En coordonnées polaires, \(r(t) = R\) (constant) et \(\theta(t) = \omega t\) (en supposant \(\theta(0) = 0\)).
Vitesse : \( \vec{v} = \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\theta}\hat{e}_\theta = 0\hat{e}_r + R\omega\hat{e}_\theta = R\omega\hat{e}_\theta \)
Accélération : \( \vec{a} = (\ddot{r} – r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta = (0 – R\omega^2)\hat{e}_r + (R(0) + 2(0)\omega)\hat{e}_\theta = -R\omega^2\hat{e}_r \) L’accélération est centripète (dirigée vers le centre du cercle).
Exemple 2: Mouvement sur une spirale Une particule se déplace sur une spirale d’Archimède, ou \( r = a \theta\), avec \(a\) une constante. La vitesse angulaire est constante : \( \dot{\theta} = \omega \). Calculer la vitesse et l’accélération de ce mouvement.
Solution :
\( r = a\theta\), et \( \dot{\theta} = \omega\), \( \dot{r} = a\dot{\theta} = a\omega\), et \( \ddot{r} = 0\) et \( \ddot{\theta} = 0\).
Vitesse : \( \vec{v} = \dot{r}\hat{e}_r + r\dot{\theta}\hat{e}_\theta = a\omega \cdot \hat{e}_r + a \theta \omega \hat{e}_{\theta}\)
Accélération : \( \vec{a} = (\ddot{r} – r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r + (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta = (0 – a \theta \omega^2) \hat{e}_r + (0 + 2 a \omega^2) \hat{e}_{\theta} = -a\theta\omega^2\hat{e}_r + 2a\omega^2\hat{e}_\theta \)