Coordonnées polaires et représentation paramétrique
Les coordonnées polaires sont un système de coordonnées dans lequel chaque point dans un plan est déterminé par une distance et un angle. La distance est appelée le rayon \( r \) et l’angle est appelé l’angle polaire \( \theta \). La représentation paramétrique permet de décrire des courbes en utilisant des paramètres.
Définitions et théorèmes
Définition 1: Soit un point \( P \) dans le plan. Les coordonnées polaires de \( P \) sont données par \( (r, \theta) \), où \( r \) est la distance de \( P \) à l’origine \( O \) et \( \theta \) est l’angle formé par le segment \( OP \) avec l’axe des abscisses.
Théorème 1: Si \( P \) a pour coordonnées polaires \( (r, \theta) \), alors ses coordonnées cartésiennes \( (x, y) \) sont données par \( x = r \cos(\theta) \) et \( y = r \sin(\theta) \).
Exemples sur les coordonnées polaires et la représentation paramétrique
Exemple 1: Convertir le point \( P \) de coordonnées polaires \( (3, \frac{\pi}{4}) \) en coordonnées cartésiennes.
En utilisant les formules de conversion, nous avons :
\[ x = 3 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] \[ y = 3 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]Donc, les coordonnées cartésiennes de \( P \) sont \( \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}, \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \).
Exemple 2: Définir la courbe paramétrique d’un cercle de rayon \( r \) centré à l’origine.
La représentation paramétrique d’un cercle de rayon \( r \) est donnée par :
\[ x = r \cos(t) \] \[ y = r \sin(t) \]où \( t \) varie de \( 0 \) à \( 2\pi \).
Exemple 3: Trouver la longueur de l’arc d’une spirale logarithmique donnée par \( r = e^\theta \) entre \( \theta = 0 \) et \( \theta = 2\pi \).
La longueur de l’arc \( L \) d’une courbe polaire est donnée par :
\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 + r^2} \, d\theta \]Pour \( r = e^\theta \), nous avons \( \frac{dr}{d\theta} = e^\theta \). Donc,
\[ L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(e^\theta)^2 + (e^\theta)^2} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2e^{2\theta}} \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2} e^\theta \, d\theta \] \[ L = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} e^\theta \, d\theta = \sqrt{2} \left[ e^\theta \right]_{0}^{2\pi} = \sqrt{2} \left( e^{2\pi} – 1 \right) \]Donc, la longueur de l’arc de la spirale logarithmique entre \( \theta = 0 \) et \( \theta = 2\pi \) est \( \sqrt{2} \left( e^{2\pi} – 1 \right) \).