Définition de l’intégrale d’une fonction en escalier
Soit \( f \) une fonction en escalier définie sur l’intervalle \([a, b]\). Considérons une subdivision \(\sigma = (x_i)_{i\in\{0,\ldots,n\}}\) adaptée à \( f \). Pour chaque intervalle \([x_{i-1}, x_i]\), la valeur constante prise par \( f \) est notée \(\lambda_i\). L’intégrale de \( f \) sur \([a, b]\) est définie par :
\[ \int_a^b f = \sum_{i=1}^{n} (x_i – x_{i-1}) \lambda_i. \]Cette intégrale peut également être notée \(\int_a^b f(x) \, dx\).
Remarques importantes
- La valeur de \(\int_a^b f\) ne dépend pas du choix de la subdivision \(\sigma\), ce qui justifie l’absence de référence à \(\sigma\) dans la notation.
- Les valeurs de \( f \) aux points \( x_i \) (pour \( i \in \{1, \ldots, n-1\} \)) ne sont pas prises en compte dans le calcul de l’intégrale ; seules les valeurs \(\lambda_i\) sur les intervalles \([x_{i-1}, x_i]\) interviennent.
Exemple illustratif
Prenons la fonction partie entière \( E \) sur l’intervalle \([-2, 2]\) et considérons la subdivision uniforme \(\sigma_1 = (-2, -1, 0, 1, 2)\) avec un pas \( h = 1 \). Sur chaque intervalle, \( E \) prend des valeurs constantes : \(\lambda_1 = -2\), \(\lambda_2 = -1\), \(\lambda_3 = 0\), et \(\lambda_4 = 1\). Ainsi, l’intégrale de \( E \) sur \([-2, 2]\) est :
\[ \int_{-2}^{2} E = \sum_{i=1}^{4} (x_i – x_{i-1}) \lambda_i = h \sum_{i=1}^{4} \lambda_i = -2 + (-1) + 0 + 1 = -2. \]Proposition sur les propriétés des fonctions en escalier
Étant données deux fonctions \( f \) et \( g \) en escalier sur \([a, b]\), on a les propriétés suivantes :
- \( \left| \int_a^b f \right| \leqslant \int_a^b |f|. \)
- Si \( f \) est positive, alors \(\int_a^b f \geqslant 0\).
- Si \( f \leqslant g \), alors \(\int_a^b f \leqslant \int_a^b g\).
- Pour tout \( c \in [a, b] \), \( f \) reste une fonction en escalier sur \([a, c]\) et \([c, b]\) ; de plus, \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\) (relation de Chasles).
- Pour tous \((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2\), la fonction \(\alpha f + \beta g\) est une fonction en escalier sur \([a, b]\) et \(\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g\).
Démonstration des propriétés
Soit \( f \) une fonction en escalier sur \([a, b]\) et \(\sigma = (x_i)_{i\in\{0,\ldots,n\}}\) une subdivision adaptée. Pour \( i \in \{1, \ldots, n\} \), \(\lambda_i\) représente la valeur prise par \( f \) sur \([x_{i-1}, x_i]\). En utilisant l’inégalité triangulaire, on obtient :
\[ \left| \int_a^b f \right| = \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i – x_{i-1}) \lambda_i \right| \leqslant \sum_{i=1}^{n} (x_i – x_{i-1}) |\lambda_i| = \int_a^b |f|. \]La première propriété est ainsi démontrée.
La deuxième propriété découle directement de la première car \( |f| = f \) si \( f \) est positive.
La quatrième propriété est évidente en choisissant une subdivision contenant \( c \).
Pour vérifier la cinquième propriété, il suffit de considérer la subdivision obtenue par réunion de deux subdivisions adaptées aux fonctions \( f \) et \( g \). On obtient alors la troisième propriété en appliquant la deuxième propriété à la fonction \( g – f \).