Dans cet article, nous aborderons la Définition des vecteurs position, vitesse et accélération, des concepts fondamentaux en cinématique, la branche de la mécanique classique qui décrit le mouvement des objets sans se préoccuper des causes de ce mouvement.
Définition des vecteurs position, vitesse et accélération
Le mouvement d’un point matériel dans l’espace est complètement décrit par son vecteur position, sa vitesse et son accélération. Ces grandeurs sont des fonctions du temps.
1. Vecteur Position (\(\vec{r}(t)\)) :
Le vecteur position, noté \(\vec{r}(t)\), repère la position d’un point matériel dans un référentiel donné à un instant \(t\). Dans un système de coordonnées cartésiennes tridimensionnel (x, y, z), le vecteur position s’écrit :
\( \vec{r}(t) = x(t)\hat{i} + y(t)\hat{j} + z(t)\hat{k} \)
où \(x(t)\), \(y(t)\), et \(z(t)\) sont les coordonnées du point matériel à l’instant \(t\), et \(\hat{i}\), \(\hat{j}\), et \(\hat{k}\) sont les vecteurs unitaires des axes x, y, et z, respectivement.
2. Vecteur Vitesse (\(\vec{v}(t)\)) :
Le vecteur vitesse, noté \(\vec{v}(t)\), est la dérivée temporelle du vecteur position. Il représente la variation instantanée de la position par rapport au temps :
\( \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = \dot{\vec{r}}(t) = \dot{x}(t)\hat{i} + \dot{y}(t)\hat{j} + \dot{z}(t)\hat{k} = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j} + v_z(t)\hat{k} \)
où \(\dot{x}(t) = \frac{dx(t)}{dt}\), \(\dot{y}(t) = \frac{dy(t)}{dt}\), et \(\dot{z}(t) = \frac{dz(t)}{dt}\) sont les composantes de la vitesse selon les axes x, y, et z, respectivement. La norme du vecteur vitesse, \(|\vec{v}(t)|\), représente la vitesse scalaire (ou simplement « vitesse »).
3. Vecteur Accélération (\(\vec{a}(t)\)) :
Le vecteur accélération, noté \(\vec{a}(t)\), est la dérivée temporelle du vecteur vitesse (ou la dérivée seconde du vecteur position). Il représente la variation instantanée de la vitesse par rapport au temps :
\( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = \dot{\vec{v}}(t) = \ddot{\vec{r}}(t) = \ddot{x}(t)\hat{i} + \ddot{y}(t)\hat{j} + \ddot{z}(t)\hat{k} = a_x(t)\hat{i} + a_y(t)\hat{j} + a_z(t)\hat{k} \)
où \(\ddot{x}(t) = \frac{d^2x(t)}{dt^2}\), \(\ddot{y}(t) = \frac{d^2y(t)}{dt^2}\), et \(\ddot{z}(t) = \frac{d^2z(t)}{dt^2}\) sont les composantes de l’accélération selon les axes x, y, et z, respectivement.
Relations importantes
- Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : \(\vec{a}(t) = \vec{0}\) , \(\vec{v}(t) = \text{constante}\), \(\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}t\).
- Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) : \(\vec{a}(t) = \text{constante}\), \(\vec{v}(t) = \vec{v}_0 + \vec{a}t\), \(\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2\).
Exemples sur Définition des vecteurs position, vitesse et accélération
Exemple 1: Mouvement parabolique
Un projectile est lancé avec une vitesse initiale \(\vec{v}_0 = v_0 \cos(\theta)\hat{i} + v_0 \sin(\theta)\hat{j}\) depuis l’origine (\(\vec{r}_0 = \vec{0}\)) dans un champ gravitationnel uniforme \(\vec{g} = -g\hat{j}\). Trouvez les expressions pour \(\vec{r}(t)\), \(\vec{v}(t)\), et \(\vec{a}(t)\).
Solution :
L’accélération est constante : \(\vec{a}(t) = \vec{g} = -g\hat{j}\). On intègre une première fois pour trouver la vitesse : \( \vec{v}(t) = \int \vec{a}(t) dt = \int -g\hat{j} dt = -gt\hat{j} + \vec{C}_1 \) On utilise la condition initiale \(\vec{v}(0) = \vec{v}_0\) pour déterminer \(\vec{C}_1\) : \(\vec{v}_0 = -g(0)\hat{j} + \vec{C}_1 \Rightarrow \vec{C}_1 = \vec{v}_0\) Donc, \( \vec{v}(t) = v_0 \cos(\theta)\hat{i} + (v_0 \sin(\theta) – gt)\hat{j} \). On intègre une seconde fois pour trouver la position : \( \vec{r}(t) = \int \vec{v}(t) dt = \int (v_0 \cos(\theta)\hat{i} + (v_0 \sin(\theta) – gt)\hat{j}) dt = v_0 \cos(\theta)t\hat{i} + (v_0 \sin(\theta)t – \frac{1}{2}gt^2)\hat{j} + \vec{C}_2 \) On utilise la condition initiale \(\vec{r}(0) = \vec{0}\) : \(\vec{0} = v_0 \cos(\theta)(0)\hat{i} + (v_0 \sin(\theta)(0) – \frac{1}{2}g(0)^2)\hat{j} + \vec{C}_2\) \( \Rightarrow \vec{C}_2 = \vec{0} \) Donc, \( \vec{r}(t) = v_0 \cos(\theta)t\hat{i} + (v_0 \sin(\theta)t – \frac{1}{2}gt^2)\hat{j} \).
Exemple 2: Mouvement hélicoïdal
Une particule se déplace selon une trajectoire hélicoïdale définie par : \( \vec{r}(t) = R\cos(\omega t)\hat{i} + R\sin(\omega t)\hat{j} + bt\hat{k} \), où \(R\), \(\omega\), et \(b\) sont des constantes positives.
Trouvez la vitesse et l’accélération de la particule, et montrez que la vitesse scalaire est constante.
Solution:
Vitesse : \(\vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} = -R\omega\sin(\omega t)\hat{i} + R\omega\cos(\omega t)\hat{j} + b\hat{k}\)
Accélération : \( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} = -R\omega^2\cos(\omega t)\hat{i} – R\omega^2\sin(\omega t)\hat{j} \)
Vitesse scalaire : \(|\vec{v}(t)| = \sqrt{(-R\omega\sin(\omega t))^2 + (R\omega\cos(\omega t))^2 + b^2} = \sqrt{R^2\omega^2(\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) + b^2} = \sqrt{R^2\omega^2 + b^2}\)
La vitesse scalaire, \(|\vec{v}(t)|\), est bien constante (indépendante du temps).