Définition 1
Un espace vectoriel sur un corps \(\mathbb{K}\) est un ensemble non vide \(E\) muni de deux lois de composition :
- Une loi interne notée \(+\) qui à tout couple \((u, v) \in E \times E\) associe un élément \(u + v \in E\).
- Une loi externe notée \(\cdot\) qui à tout couple \((\lambda, u) \in \mathbb{K} \times E\) associe un élément \(\lambda \cdot u \in E\).
Ces lois doivent satisfaire les propriétés suivantes :
- \(u + v = v + u\) pour tous \(u, v \in E\).
- \(u + (v + w) = (u + v) + w\) pour tous \(u, v, w \in E\).
- Il existe un élément neutre \(O_E \in E\) tel que \(u + O_E = u\) pour tout \(u \in E\).
- Pour tout \(u \in E\), il existe un symétrique \(u’ \in E\) tel que \(u + u’ = O_E\).
- \(1 \cdot u = u\) pour tout \(u \in E\).
- \(\lambda \cdot (\mu \cdot u) = (\lambda \mu) \cdot u\) pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) et \(u \in E\).
- \(\lambda \cdot (u + v) = \lambda \cdot u + \lambda \cdot v\) pour tous \(\lambda \in \mathbb{K}\) et \(u, v \in E\).
- \((\lambda + \mu) \cdot u = \lambda \cdot u + \mu \cdot u\) pour tous \(\lambda, \mu \in \mathbb{K}\) et \(u \in E\).
Exemple 1 : L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^2\)
Considérons \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) et \(E = \mathbb{R}^2\). Un élément \(u \in E\) est un couple \((x, y)\) où \(x, y \in \mathbb{R}\).
- Loi interne : \((x, y) + (x’, y’) = (x + x’, y + y’)\).
- Loi externe : \(\lambda \cdot (x, y) = (\lambda x, \lambda y)\).
L’élément neutre est \((0, 0)\) et le symétrique de \((x, y)\) est \((-x, -y)\).
Exemple 2 : L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\)
Soit \(n \geq 1\). Posons \(\mathbb{K} = \mathbb{R}\) et \(E = \mathbb{R}^n\). Un élément \(u \in E\) est un \(n\)-uplet \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\) où \(x_i \in \mathbb{R}\).
- Loi interne : \((x_1, \ldots, x_n) + (x’_1, \ldots, x’_n) = (x_1 + x’_1, \ldots, x_n + x’_n)\).
- Loi externe : \(\lambda \cdot (x_1, \ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)\).
L’élément neutre est \((0, \ldots, 0)\) et le symétrique de \((x_1, \ldots, x_n)\) est \((-x_1, \ldots, -x_n)\).
Exemple 3 : Plan passant par l’origine dans \(\mathbb{R}^3\)
Soit \(\mathcal{P}\) un plan dans \(\mathbb{R}^3\) passant par l’origine, défini par l’équation \(ax + by + cz = 0\).
Un élément \(u \in \mathcal{P}\) est un vecteur \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) tel que \(ax + by + cz = 0\).
La somme de deux vecteurs de \(\mathcal{P}\) est également dans \(\mathcal{P}\), et la multiplication par un scalaire préserve \(\mathcal{P}\).
Attention : Un plan ne contenant pas l’origine n’est pas un espace vectoriel.
Terminologie et notations
Les éléments de \(E\) sont appelés vecteurs. Les éléments de \(\mathbb{K}\) sont appelés scalaires.
L’élément neutre \(O_E\) est appelé vecteur nul. Le symétrique d’un vecteur \(u\) est noté \(-u\).
La somme de \(n\) vecteurs \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) est définie par récurrence :
\[ v_1 + v_2 + \cdots + v_n = (v_1 + v_2 + \cdots + v_{n-1}) + v_n. \]On note cette somme \(\sum_{i=1}^{n} v_i\).