Définition d’un sous-espace vectoriel

Définition

Soit \( E \) un \( \mathbb{K} \)-espace vectoriel. Une partie \( F \) de \( E \) est appelée un sous-espace vectoriel si :

\( 0_E \in F \),
\( u + v \in F \) pour tous \( u, v \in F \),
\( \lambda \cdot u \in F \) pour tout \( \lambda \in \mathbb{K} \) et tout \( u \in F \).

Expliquons chaque condition :

La première condition signifie que le vecteur nul de \( E \) doit aussi être dans \( F \). En fait, il suffit même de prouver que \( F \) est non vide.
La deuxième condition indique que \( F \) est stable pour l’addition : la somme \( u + v \) de deux vecteurs \( u, v \) de \( F \) est un vecteur de \( E \) (car \( E \) est un espace vectoriel), mais on exige que \( u + v \) soit un élément de \( F \).
La troisième condition signifie que \( F \) est stable pour la multiplication par un scalaire.

Voici quelques exemples immédiats de sous-espaces vectoriels :

L’ensemble \( F = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 0\} \) est un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^2 \). En effet :
- \((0, 0) \in F\),
- si \( u = (x_1, y_1) \) et \( v = (x_2, y_2) \) appartiennent à \( F \), alors \( x_1 + y_1 = 0 \) et \( x_2 + y_2 = 0 \) donc \( (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = 0 \) et ainsi \( u + v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \) appartient à \( F \),
- si \( u = (x, y) \in F \) et \( \lambda \in \mathbb{R} \), alors \( x + y = 0 \) donc \( \lambda x + \lambda y = 0 \), d’où \( \lambda u \in F \).
L’ensemble des fonctions continues sur \( \mathbb{R} \) est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des fonctions de \( \mathbb{R} \) dans \( \mathbb{R} \). Preuve : la fonction nulle est continue ; la somme de deux fonctions continues est continue ; une constante fois une fonction continue est une fonction continue.
L’ensemble des suites réelles convergentes est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites réelles.

Voici des sous-ensembles qui ne sont pas des sous-espaces vectoriels :

L’ensemble \( F_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y = 2\} \) n’est pas un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^2 \). En effet, le vecteur nul \( (0, 0) \) n’appartient pas à \( F_1 \).
L’ensemble \( F_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x = 0 \text{ ou } y = 0\} \) n’est pas un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^2 \). En effet, les vecteurs \( u = (1, 0) \) et \( v = (0, 1) \) appartiennent à \( F_2 \), mais pas le vecteur \( u + v = (1, 1) \).
L’ensemble \( F_3 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0 \text{ et } y \geq 0\} \) n’est pas un sous-espace vectoriel de \( \mathbb{R}^2 \). En effet, le vecteur \( u = (1, 1) \) appartient à \( F_3 \) mais, pour \( \lambda = -1 \), le vecteur \( -u = (-1, -1) \) n’appartient pas à \( F_3 \).