Nombre dérivé et fonction dérivée
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(a\) un point de \(I\). On s’intéresse au comportement local de \(f\) au voisinage du point \(a\).
Le taux d’accroissement de \(f\) entre les points \(a\) et \(a+h\) est défini par :
\[\tau_h = \frac{f(a+h) – f(a)}{h}, \quad h \neq 0\]
Définition : On dit que \(f\) est dérivable au point \(a\) si la limite du taux d’accroissement quand \(h\) tend vers 0 existe dans \(\mathbb{R}\). Cette limite est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\) et est notée \(f'(a)\).
Ainsi :
\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\]
Théorème : Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
La fonction dérivée de \(f\), notée \(f’\), est la fonction qui à tout point \(x\) où \(f\) est dérivable associe le nombre dérivé \(f'(x)\).
Proposition : Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors l’équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \(A(a,f(a))\) est :
\[y = f'(a)(x-a) + f(a)\]
L’interprétation géométrique du nombre dérivé est la pente de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(a\).
Théorème (Dérivabilité implique la continuité) :
Si une fonction \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors elle est continue sur \(I\).
La dérivée à gauche en \(a\) est définie par :
\[f’_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\]
La dérivée à droite en \(a\) est définie par :
\[f’_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\]
Proposition : Une fonction est dérivable en \(a\) si et seulement si les dérivées à gauche et à droite en \(a\) existent et sont égales.
Théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux variations
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\). La continuité est une propriété fondamentale qui assure la régularité d’une fonction.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle fermé \([a,b]\) vérifiant :
- \(f\) est continue sur \([a,b]\)
- \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)
- \(f(a) = f(b)\)
La dérivabilité d’une fonction sur un intervalle ouvert est essentielle pour l’application du théorème de Rolle.
Soit \(f\) une fonction définie sur \([a,b]\) telle que :
- \(f\) est continue sur \([a,b]\)
- \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)
L’étude des variations d’une fonction repose sur le signe de sa dérivée. Pour une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) :
Pour tout \(x \in I\) :
- Si \(f'(x) > 0\), alors \(f\) est strictement croissante au voisinage de \(x\)
- Si \(f'(x) < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante au voisinage de \(x\)
- Si \(f'(x) = 0\), alors \(x\) est un point critique de \(f\)
La recherche des extremums d’une fonction utilise ces résultats fondamentaux. Un extremum local correspond nécessairement à un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas.
Si \(f\) admet un extremum local en un point \(x_0\) intérieur à \(I\) et si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors \(f'(x_0) = 0\).
L’application de ces théorèmes permet d’étudier les propriétés qualitatives des fonctions et de déterminer leurs variations sur des intervalles donnés.
Dérivées successives
La notion de dérivées successives est une extension naturelle du concept de dérivée. Pour une fonction \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\), on peut définir une suite de fonctions \(f^{(n)}\) où \(n\) représente l’ordre de dérivation.
On note la dérivée première d’une fonction \(f\) par \(f’\) ou \(f^{(1)}\). Si cette dérivée est elle-même dérivable, sa dérivée est appelée la dérivée seconde de \(f\), notée \(f »\) ou \(f^{(2)}\).
Proposition 1:
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur un intervalle \(I\). Pour tout \(k \leq n\), la dérivée \(k\)-ième de \(f\) au point \(a\), notée \(f^{(k)}(a)\), est donnée par :
\[f^{(k)}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(k-1)}(a+h) – f^{(k-1)}(a)}{h}\]
La notation de Leibniz pour les dérivées successives s’écrit : \[\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{d^n f}{dx^n}(x)\]
Théorème 1 (Formule de Taylor-Young):
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable en \(a\). Alors il existe une fonction \(\varepsilon(h)\) qui tend vers 0 quand \(h\) tend vers 0, telle que :
\[f(a+h) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k + \varepsilon(h)h^n\]
Pour les fonctions usuelles, les dérivées successives suivent souvent des motifs particuliers :
Pour la fonction exponentielle : \[(\mathrm{e}^x)^{(n)} = \mathrm{e}^x\]
Pour les fonctions trigonométriques : \[\begin{align*} (\sin x)^{(4)} &= \sin x\\ (\cos x)^{(4)} &= \cos x \end{align*}\]
Théorème 2 (Formule de Leibniz):
Pour deux fonctions \(u\) et \(v\) \(n\) fois dérivables, la dérivée \(n\)-ième du produit est donnée par :
\[(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)}\]
Les dérivées successives jouent un rôle crucial dans l’analyse des points critiques d’une fonction et dans l’étude de son comportement local.
Fonctions dérivables : Opérations, Composée et réciproque
Une fonction dérivable sur un intervalle I est une fonction qui admet une dérivée en tout point de I. La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse. Soit f une fonction dérivable sur I, on note f’ sa fonction dérivée.
- \[ (f + g)’ = f’ + g’ \]
- \[ (kf)’ = k f’ \]
- \[ (fg)’ = f’g + fg’ \]
- \[ (\frac{f}{g})’ = \frac{f’g – fg’}{g^2} \] (si g ne s’annule pas sur I)