Nombre dérivé et fonction dérivée


Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\) et soit \(a\) un point de \(I\). On s’intéresse au comportement local de \(f\) au voisinage du point \(a\).

Le taux d’accroissement de \(f\) entre les points \(a\) et \(a+h\) est défini par :

\[\tau_h = \frac{f(a+h) – f(a)}{h}, \quad h \neq 0\]

Définition : On dit que \(f\) est dérivable au point \(a\) si la limite du taux d’accroissement quand \(h\) tend vers 0 existe dans \(\mathbb{R}\). Cette limite est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\) et est notée \(f'(a)\).

Ainsi :

\[f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\]

Théorème : Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).

La fonction dérivée de \(f\), notée \(f’\), est la fonction qui à tout point \(x\) où \(f\) est dérivable associe le nombre dérivé \(f'(x)\).

Proposition : Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors l’équation de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \(A(a,f(a))\) est :

\[y = f'(a)(x-a) + f(a)\]

L’interprétation géométrique du nombre dérivé est la pente de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(a\).

Théorème (Dérivabilité implique la continuité) :
Si une fonction \(f\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors elle est continue sur \(I\).

La dérivée à gauche en \(a\) est définie par :

\[f’_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\]

La dérivée à droite en \(a\) est définie par :

\[f’_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) – f(a)}{h}\]

Proposition : Une fonction est dérivable en \(a\) si et seulement si les dérivées à gauche et à droite en \(a\) existent et sont égales.

Théorème de Rolle, des accroissements finis, application aux variations


Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que \(f\) est continue sur \(I\) si elle est continue en tout point de \(I\). La continuité est une propriété fondamentale qui assure la régularité d’une fonction.

Théorème (Rolle)
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle fermé \([a,b]\) vérifiant :
  • \(f\) est continue sur \([a,b]\)
  • \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)
  • \(f(a) = f(b)\)
Alors il existe au moins un point \(c\) dans \(]a,b[\) tel que \(f'(c) = 0\).

La dérivabilité d’une fonction sur un intervalle ouvert est essentielle pour l’application du théorème de Rolle.

Théorème (Accroissements finis)
Soit \(f\) une fonction définie sur \([a,b]\) telle que :
  • \(f\) est continue sur \([a,b]\)
  • \(f\) est dérivable sur \(]a,b[\)
Alors il existe au moins un point \(c\) dans \(]a,b[\) tel que : \[ f(b) – f(a) = f'(c)(b-a) \]

L’étude des variations d’une fonction repose sur le signe de sa dérivée. Pour une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) :

Proposition
Pour tout \(x \in I\) :
  • Si \(f'(x) > 0\), alors \(f\) est strictement croissante au voisinage de \(x\)
  • Si \(f'(x) < 0\), alors \(f\) est strictement décroissante au voisinage de \(x\)
  • Si \(f'(x) = 0\), alors \(x\) est un point critique de \(f\)

La recherche des extremums d’une fonction utilise ces résultats fondamentaux. Un extremum local correspond nécessairement à un point où la dérivée s’annule ou n’existe pas.

Théorème (Extremums locaux)
Si \(f\) admet un extremum local en un point \(x_0\) intérieur à \(I\) et si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors \(f'(x_0) = 0\).

L’application de ces théorèmes permet d’étudier les propriétés qualitatives des fonctions et de déterminer leurs variations sur des intervalles donnés.

Dérivées successives


La notion de dérivées successives est une extension naturelle du concept de dérivée. Pour une fonction \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\), on peut définir une suite de fonctions \(f^{(n)}\) où \(n\) représente l’ordre de dérivation.

On note la dérivée première d’une fonction \(f\) par \(f’\) ou \(f^{(1)}\). Si cette dérivée est elle-même dérivable, sa dérivée est appelée la dérivée seconde de \(f\), notée \(f »\) ou \(f^{(2)}\).

Proposition 1:
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable sur un intervalle \(I\). Pour tout \(k \leq n\), la dérivée \(k\)-ième de \(f\) au point \(a\), notée \(f^{(k)}(a)\), est donnée par : \[f^{(k)}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f^{(k-1)}(a+h) – f^{(k-1)}(a)}{h}\]

La notation de Leibniz pour les dérivées successives s’écrit : \[\frac{d^n y}{dx^n} = \frac{d^n f}{dx^n}(x)\]

Théorème 1 (Formule de Taylor-Young):
Soit \(f\) une fonction \(n\) fois dérivable en \(a\). Alors il existe une fonction \(\varepsilon(h)\) qui tend vers 0 quand \(h\) tend vers 0, telle que : \[f(a+h) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}h^k + \varepsilon(h)h^n\]

Pour les fonctions usuelles, les dérivées successives suivent souvent des motifs particuliers :

Pour la fonction exponentielle : \[(\mathrm{e}^x)^{(n)} = \mathrm{e}^x\]

Pour les fonctions trigonométriques : \[\begin{align*} (\sin x)^{(4)} &= \sin x\\ (\cos x)^{(4)} &= \cos x \end{align*}\]

Théorème 2 (Formule de Leibniz):
Pour deux fonctions \(u\) et \(v\) \(n\) fois dérivables, la dérivée \(n\)-ième du produit est donnée par : \[(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} u^{(k)}v^{(n-k)}\]

Les dérivées successives jouent un rôle crucial dans l’analyse des points critiques d’une fonction et dans l’étude de son comportement local.

Fonctions dérivables : Opérations, Composée et réciproque


Une fonction dérivable sur un intervalle I est une fonction qui admet une dérivée en tout point de I. La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse. Soit f une fonction dérivable sur I, on note f’ sa fonction dérivée.
Proposition : Soient f et g deux fonctions dérivables sur I, et soit k un réel. Les fonctions suivantes sont dérivables sur I et leurs dérivées sont données par :
  • \[ (f + g)’ = f’ + g’ \]
  • \[ (kf)’ = k f’ \]
  • \[ (fg)’ = f’g + fg’ \]
  • \[ (\frac{f}{g})’ = \frac{f’g – fg’}{g^2} \] (si g ne s’annule pas sur I)
La dérivabilité permet d’étudier le comportement local d’une fonction. Une fonction dérivable possède une tangente en chacun de ses points.
Théorème (Dérivée d’une fonction composée) : Soient f dérivable sur I et g dérivable sur J tel que f(I) ⊂ J. Alors g ∘ f est dérivable sur I et : \[ (g \circ f)’ = (g’ \circ f) \times f’ \]
La règle de dérivation des fonctions composées est particulièrement utile pour calculer les dérivées des fonctions usuelles.
Théorème (Dérivée de la fonction réciproque) : Soit f une fonction continue strictement monotone sur I, dérivable sur I et de dérivée ne s’annulant pas sur I. Alors f⁻¹ est dérivable sur f(I) et pour tout y ∈ f(I) : \[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \]
Ce résultat est fondamental pour établir les formules de dérivation des fonctions trigonométriques réciproques et des fonctions logarithme et exponentielle. Pour appliquer ces théorèmes, il est essentiel de vérifier les conditions d’application : dérivabilité des fonctions, non-annulation de la dérivée pour la fonction réciproque, et inclusion des ensembles de définition pour la composition.