Dérivabilité en un point
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(a\) un point de \(I\). On dit que \(f\) est dérivable au point \(a\) si la limite suivante existe :
\[ \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) – f(a)}{h} \]
Cette limite, lorsqu’elle existe, est appelée nombre dérivé de \(f\) en \(a\) et est notée \(f'(a)\).
Interprétation géométrique :
\(f'(a)\) représente la pente de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \(a\).
Caractérisation équivalente :
\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si il existe un nombre réel \(\alpha\) tel que :
\[ f(x) = f(a) + \alpha(x-a) + o(x-a) \]
où \(o(x-a)\) est un infiniment petit d’ordre supérieur à \(x-a\).
Exemples sur la dérivabilité en un point
Exemple 1 : Étude de la fonction valeur absolue \[ f(x) = |x| \text{ au point } a = 0 \] Pour \(h > 0\) : \(\frac{f(h) – f(0)}{h} = \frac{|h| – 0}{h} = 1\) Pour \(h < 0\) : \(\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{|h| - 0}{h} = -1\) Les limites à droite et à gauche sont différentes, donc \(f\) n'est pas dérivable en 0.
Exemple 2 : Fonction racine carrée \[ f(x) = \sqrt{x} \text{ au point } a = 0 \] Pour \(h > 0\) : \[ \lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} – 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = +\infty \] La limite n’existe pas, donc \(f\) n’est pas dérivable en 0.
Exemple 3 : Fonction polynomiale \[ f(x) = x^3 – 2x^2 + x – 1 \text{ au point } a = 1 \] \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) – f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^3 – 2(1+h)^2 + (1+h) – 1 – (1 – 2 + 1 – 1)}{h} \] Après développement et simplification : \[ f'(1) = 3(1)^2 – 4(1) + 1 = 0 \] La fonction est dérivable en 1 et sa dérivée vaut 0.