Dérivabilité sur un intervalle
Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\) et \(f : I \rightarrow \mathbb{R}\) une fonction.
On dit que \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(I\) si et seulement si :
1. \(f\) est dérivable en tout point \(x_0\) de \(I\), c’est-à-dire que pour tout \(x_0 \in I\), la limite suivante existe :
\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} \]2. La fonction dérivée \(f’\) qui à tout point \(x\) de \(I\) associe \(f'(x)\) est définie sur tout l’intervalle \(I\).
Propriétés importantes :
- Si \(f\) est dérivable sur \(I\), alors \(f\) est continue sur \(I\)
- La réciproque est fausse : une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable
- Si \(f\) est dérivable sur \(I\), alors \(f\) admet une tangente en chaque point de \(I\)
Exemples sur la dérivabilité sur un intervalle
Exemple 1 : Étude de la fonction valeur absolue
Considérons la fonction \(f(x) = |x|\) sur \(\mathbb{R}\). \[ f'(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases} \] Cette fonction n'est pas dérivable en \(x = 0\) car les limites à droite et à gauche du taux d'accroissement sont différentes.Exemple 2 : Fonction racine carrée
La fonction \(f(x) = \sqrt{x}\) définie sur \(]0,+\infty[\) est dérivable sur son intervalle de définition. \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Cette fonction n’est pas dérivable en 0 car la dérivée n’y est pas définie.Exemple 3 : Fonction polynomiale
Soit \(f(x) = x^3 – 2x^2 + 4x – 1\) définie sur \(\mathbb{R}\). Cette fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\) car c’est une fonction polynomiale. \[ f'(x) = 3x^2 – 4x + 4 \] La dérivée existe en tout point de \(\mathbb{R}\) et est elle-même continue.