Diagrammes de Bode: décade, asymptotes, pente, fréquence de coupure

Bienvenue dans ce cours consacré aux Diagrammes de Bode: décade, asymptotes, pente, fréquence de coupure. Ces diagrammes sont des outils essentiels en électronique et en physique des circuits pour visualiser et analyser la réponse fréquentielle des systèmes. Ce cours vous guidera à travers la construction et l’interprétation des diagrammes de Bode, incluant les concepts clés de décade, d’asymptotes, de pente et de fréquence de coupure.

Formules à savoir

La compréhension des Diagrammes de Bode: décade, asymptotes, pente, fréquence de coupure repose sur quelques formules clés :

Fréquence angulaire ( $ω$ ): Mesurée en radians par seconde (rad/s). Elle est liée à la fréquence $f$ en Hertz (Hz) par la relation: $ω = 2 π f$ .
Fonction de transfert $H (j ω)$ : Elle est l’expression qui relie la sortie d’un système à son entrée en fonction de la fréquence. Dans un diagramme de Bode, on analyse le module et la phase de $H (j ω)$ .
Gain $G (ω)$ (en dB): Le gain est une mesure de l’amplitude du signal. $G (ω) = 20 \cdot l o g_{10} | H (j ω) |$ .
Phase $ϕ (ω)$ : Le déphasage du signal de sortie par rapport au signal d’entrée, exprimé en degrés ou en radians. $ϕ (ω) = a r g (H (j ω))$ .
Décade: Un intervalle de fréquence tel que le rapport entre la fréquence la plus élevée et la fréquence la plus basse est égal à 10.
Pente: La variation du gain en dB par décade ou la variation de la phase par décade. La pente est une donnée clé pour l’analyse des asymptotes.
Fréquence de coupure ( $ω_{c}$ ): La fréquence à laquelle le gain est réduit de 3 dB par rapport à sa valeur maximale (pour un filtre passe-bas ou passe-haut). La fréquence de coupure est souvent un point important sur un diagramme de Bode.

Exemples sur les Diagrammes de Bode: décade, asymptotes, pente, fréquence de coupure

Voyons maintenant comment ces concepts s’appliquent à travers des exemples concrets de circuits.

Exemple 1 : Filtre passe-bas du premier ordre RC. Considérons le circuit RC série, composé d’une résistance $R$ et d’un condensateur $C$ . Nous voulons tracer son diagramme de Bode, pour analyser sa réponse fréquentielle.

Solution: La fonction de transfert est $H (j ω) = \frac{1}{1 + j ω R C}$ . Le diagramme de Bode du gain est une droite horizontale (0 dB) pour les basses fréquences. Pour les hautes fréquences, il est une droite dont la pente est de -20 dB/décade. La fréquence de coupure est $ω_{c} = \frac{1}{R C}$ . Le diagramme de phase démarre à 0 degré, et diminue graduellement pour atteindre -90 degrés. L’asymptote est ainsi l’approximation du gain ou de la phase, qui est utilisée pour un traçage facile, car on néglige, en basses et hautes fréquences le comportement transitoire autour de la fréquence de coupure. L’étude des asymptotes nous facilite le travail pour la construction du diagramme de Bode.

Exemple 2 : Filtre passe-bande RLC série. Prenons un filtre RLC série. La tension de sortie est prise aux bornes de la résistance R. Comment construire le diagramme de Bode pour la réponse fréquentielle ?

Solution: La fonction de transfert $H (j ω) = \frac{R}{R + j (ω L - \frac{1}{ω C})}$ . Le diagramme de Bode montre, pour les basses fréquences, une pente de +20 dB/décade jusqu’à la première fréquence de coupure. Au-dessus de la fréquence de résonance $ω_{0} = \frac{1}{\sqrt{L C}}$ , la pente est de -20 dB/décade. Le gain est maximal à $ω_{0}$ avec des fréquences de coupure situées autour de la fréquence de résonance, déterminées par la largeur de bande du filtre. En ce qui concerne la phase, celle-ci change de +90° (pour les basses fréquences), diminue lorsque la fréquence augmente, jusqu’à atteindre -90° aux hautes fréquences.

Exemple 3 : Amplificateur opérationnel (AO) inverseur. Considérons un amplificateur opérationnel inverseur avec une résistance d’entrée $R_{1}$ et une résistance de feedback $R_{2}$ . Le diagramme de Bode permet d’analyser la réponse fréquentielle de cet amplificateur.

Solution: Le gain en boucle fermée est $A_{v} = - \frac{R_{2}}{R_{1}}$ . Le diagramme de Bode montre un gain constant (en dB) jusqu’à une certaine fréquence, et diminue ensuite avec une pente typique de -20 dB/décade. La fréquence de coupure dépend des caractéristiques de l’AO et de la résistance de feedback $R_{2}$ . Le diagramme de Bode permet d’évaluer la bande passante de l’amplificateur et son comportement à différentes fréquences.