Discontinuité et limite d’une fonction composée
Définitions et théorèmes
Définition 1: Une fonction \( f \) est dite discontinue en un point \( c \) si elle n’est pas continue en ce point. Plus formellement, \( f \) est discontinue en \( c \) si l’une des conditions suivantes est vérifiée :
- \( f(c) \) n’est pas défini.
- \( \lim_{{x \to c}} f(x) \) n’existe pas.
- \( \lim_{{x \to c}} f(x) \neq f(c) \).
Théorème 1: Si \( f \) est continue en \( g(a) \) et \( g \) est continue en \( a \), alors la fonction composée \( f \circ g \) est continue en \( a \). Formellement, si \( \lim_{{x \to a}} g(x) = g(a) \) et \( \lim_{{y \to g(a)}} f(y) = f(g(a)) \), alors \( \lim_{{x \to a}} f(g(x)) = f(g(a)) \).
Théorème 2: Si \( f \) est discontinue en \( g(a) \) ou \( g \) est discontinue en \( a \), alors la fonction composée \( f \circ g \) peut être discontinue en \( a \). Cependant, il existe des cas où \( f \circ g \) reste continue même si \( f \) ou \( g \) est discontinue.
Exemples sur Discontinuité et limite d’une fonction composée
Exemple 1: Considérons les fonctions \( f(x) = \frac{1}{x} \) et \( g(x) = x^2 – 1 \). Déterminons si la fonction composée \( f \circ g \) est discontinue en \( x = 1 \).
- Calculons \( g(1) \): \[ g(1) = 1^2 – 1 = 0 \]
- Calculons \( f(g(1)) \): \[ f(g(1)) = f(0) = \frac{1}{0} \] La fonction \( f \) n’est pas définie en \( 0 \), donc \( f \circ g \) est discontinue en \( x = 1 \).
Solution détaillée: La fonction \( f(x) = \frac{1}{x} \) est discontinue en \( x = 0 \). Puisque \( g(1) = 0 \), la fonction composée \( f \circ g \) est discontinue en \( x = 1 \).
Exemple 2: Soient \( f(x) = \sin(x) \) et \( g(x) = \frac{1}{x-2} \). Déterminons si la fonction composée \( f \circ g \) est discontinue en \( x = 2 \).
- Calculons \( g(2) \): \[ g(2) = \frac{1}{2-2} = \frac{1}{0} \] La fonction \( g \) n’est pas définie en \( x = 2 \).
- Calculons \( f(g(2)) \): \[ f(g(2)) = f\left(\frac{1}{0}\right) \] La fonction \( f \) n’est pas définie pour \( \frac{1}{0} \), donc \( f \circ g \) est discontinue en \( x = 2 \).
Solution détaillée: La fonction \( g(x) = \frac{1}{x-2} \) est discontinue en \( x = 2 \) car elle n’est pas définie en ce point. Par conséquent, la fonction composée \( f \circ g \) est également discontinue en \( x = 2 \).
| Fonction | Point de discontinuité | Raison de la discontinuité |
|---|---|---|
| \( f(x) = \frac{1}{x} \) | \( x = 0 \) | Fonction non définie en \( x = 0 \) |
| \( g(x) = \frac{1}{x-2} \) | \( x = 2 \) | Fonction non définie en \( x = 2 \) |