Cet article traite des notions d’égalité d’ensembles, ensemble vide (∅), singleton, paire et n-uplet en mathématiques de niveau supérieur.
égalité d’ensembles, ensemble vide (∅), singleton, paire, n-uplet
Deux ensembles sont dits égaux s’ils contiennent exactement les mêmes éléments. Formellement, \(A = B\) si et seulement si pour tout \(x\), \(x \in A \Leftrightarrow x \in B\). L’ensemble vide, noté \(∅\), est l’ensemble ne contenant aucun élément. Un singleton est un ensemble contenant un seul élément, par exemple \(\{a\}\). Une paire est un ensemble contenant deux éléments, par exemple \(\{a, b\}\). Un n-uplet est une collection ordonnée de \(n\) éléments, notée \((a_1, a_2, …, a_n)\). L’ordre des éléments est important dans un n-uplet. Deux n-uplets sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments dans le même ordre.
Exemples sur « égalité d’ensembles, ensemble vide (∅), singleton, paire, n-uplet »
1. Soient \(A = \{1, 2, 3\}\) et \(B = \{3, 2, 1\}\). Alors \(A = B\) car ils contiennent les mêmes éléments, l’ordre n’important pas pour les ensembles.
2. \(∅\) est l’ensemble vide. On a \(∅ \subset A\) pour tout ensemble \(A\).
3. \(\{7\}\) est un singleton. \(\{2, 5\}\) est une paire. \((1, 2, 3)\) est un 3-uplet (ou triplet). Notez que \(\{1, 2\} = \{2, 1\}\) mais \((1, 2) \ne (2, 1)\).
4. Soient \(x = (1, 2)\) et \(y = (1, 2)\). Alors \(x = y\). Soient \(u = (1, 2)\) et \(v = (2, 1)\). Alors \(u \ne v\).