Cet article discute des notions d’ensembles dénombrables et non dénombrables, ainsi que du théorème de Cantor, des concepts clés en mathématiques de niveau supérieur.
Ensemble dénombrable, non dénombrable et théorème de Cantor
Un ensemble \(E\) est dit dénombrable s’il existe une bijection entre \(E\) et l’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) (ou une partie de \(\mathbb{N}\)). Intuitivement, cela signifie que l’on peut « compter » les éléments de \(E\), même si ce comptage est infini. Un ensemble est non dénombrable s’il n’est pas dénombrable. Le théorème de Cantor énonce que pour tout ensemble \(E\), il n’existe pas de surjection de \(E\) sur \(℘(E)\), l’ensemble des parties de \(E\). Cela implique que \(|℘(E)| > |E|\) pour tout ensemble \(E\), et donc qu’il existe une hiérarchie infinie de cardinaux infinis.
Exemples sur « Ensemble dénombrable, non dénombrable et théorème de Cantor »
1. L’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) est dénombrable par définition.
2. L’ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) est dénombrable. On peut établir une bijection entre \(\mathbb{Z}\) et \(\mathbb{N}\) par exemple avec la fonction \(f : \mathbb{Z} \to \mathbb{N}\) définie par \(f(n) = 2n\) si \(n \ge 0\) et \(f(n) = -2n – 1\) si \(n < 0\).
3. L’ensemble des nombres rationnels \(\mathbb{Q}\) est dénombrable. Il existe plusieurs méthodes pour démontrer cela, notamment l’argument de la diagonale de Cantor.
4. L’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) est non dénombrable. Ceci est démontré par l’argument diagonal de Cantor, qui montre qu’aucune liste de nombres réels ne peut contenir tous les nombres réels.
5. Le théorème de Cantor implique que \(|\mathbb{R}| > |\mathbb{N}|\), \( |℘(\mathbb{N})| > |\mathbb{N}| \), \( |℘(\mathbb{R})| > |\mathbb{R}| \), et ainsi de suite. Il existe donc une infinité d’infinis de « tailles » différentes.