Cet article explore « Ensemble, élément, appartenance (∈), inclusion (⊂) » en mathématiques de niveau supérieur.
Ensemble, élément, appartenance (∈), inclusion (⊂)
Un ensemble est une collection d’objets distincts, appelés éléments. L’appartenance d’un élément \(x\) à un ensemble \(A\) se note \(x \in A\). À l’inverse, si \(x\) n’appartient pas à \(A\), on écrit \(x \notin A\). L’inclusion d’un ensemble \(B\) dans un ensemble \(A\), notée \(B \subset A\), signifie que tout élément de \(B\) est aussi un élément de \(A\). On peut aussi écrire \(A \supset B\) pour exprimer la même inclusion. Si \(B\) n’est pas inclus dans \(A\), on écrit \(B \not\subset A\). L’égalité entre deux ensembles \(A\) et \(B\), notée \(A = B\), est vérifiée si et seulement si \(A \subset B\) et \(B \subset A\).
Exemples sur « Ensemble, élément, appartenance (∈), inclusion (⊂) »
1. Soit \(A = \{1, 2, 3\}\) et \(B = \{2, 3\}\). On a \(2 \in A\), \(4 \notin A\), \(B \subset A\), et \(\{1\} \not\subset B\).
2. Soit \(E = \mathbb{R}\) l’ensemble des nombres réels, \(F = \mathbb{Q}\) l’ensemble des nombres rationnels, et \(G = \mathbb{Z}\) l’ensemble des nombres entiers. On a \(G \subset F \subset E\). Par exemple, \(2 \in G\), \(2 \in F\), \(2 \in E\), \(\frac{1}{2} \in F\), \(\frac{1}{2} \in E\), \(\frac{1}{2} \notin G\), \(\sqrt{2} \in E\), et \(\sqrt{2} \notin F\).
3. L’ensemble vide, noté \(∅\), est inclus dans tout ensemble : \(∅ \subset A\) pour tout ensemble \(A\).