Cet article aborde les opérations sur les ensembles : complémentaire, différence et différence symétrique, notions importantes en mathématiques de niveau supérieur.
Ensembles : complémentaire, différence symétrique et différence
Soit \(E\) un ensemble et \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles de \(E\). Le complémentaire de \(A\) dans \(E\), noté \(A^c\) (ou parfois \(\complement_E A\) ou \(E \setminus A\)), est l’ensemble des éléments de \(E\) qui n’appartiennent pas à \(A\). Formellement, \(A^c = \{x \in E \mid x \notin A\}\). La différence entre \(A\) et \(B\), notée \(A \setminus B\), est l’ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) mais pas à \(B\). Formellement, \(A \setminus B = \{x \mid x \in A \text{ et } x \notin B\}\). La différence symétrique de \(A\) et \(B\), notée \(A \Delta B\), est l’ensemble des éléments qui appartiennent à \(A\) ou à \(B\) mais pas aux deux. Formellement, \(A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)\) ou \(A \Delta B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)\).
Exemples sur « Ensembles : complémentaire, différence symétrique et différence »
1. Soit \(E = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(A = \{1, 2, 3\}\) et \(B = \{3, 4, 5\}\). Alors \(A^c = \{4, 5\}\), \(A \setminus B = \{1, 2\}\), \(B \setminus A = \{4, 5\}\) et \(A \Delta B = \{1, 2, 4, 5\}\).
2. Soit \(E = \mathbb{R}\), \(A = [0, 1]\) (l’intervalle fermé de 0 à 1) et \(B = ]0.5, 2]\) (l’intervalle semi-ouvert de 0.5 à 2).
Alors \(A^c = ]-\infty, 0[ \cup ]1, +\infty[\), \(A \setminus B = [0, 0.5]\), \(B \setminus A = ]1, 2]\) et \(A \Delta B = [0, 0.5] \cup ]1, 2]\).
3. Soit \(E\) l’ensemble des entiers naturels, \(A\) l’ensemble des nombres pairs et \(B\) l’ensemble des multiples de 3. Alors \(A^c\) est l’ensemble des nombres impairs, \(A \setminus B\) est l’ensemble des nombres pairs qui ne sont pas multiples de 3, \(B \setminus A\) est l’ensemble des multiples impairs de 3 et \(A \Delta B\) est l’ensemble des nombres qui sont soit pairs et non multiples de 3, soit impairs et multiples de 3.