Cet article porte sur les ensembles ordonnés, les ensembles bien ordonnés et le principe de bon ordre, des concepts fondamentaux en mathématiques de niveau supérieur.
Ensembles ordonnés, ensembles bien ordonnés, principe de bon ordre
Un ensemble ordonné est un ensemble \(E\) muni d’une relation d’ordre, notée généralement \(\le\), qui est réflexive, antisymétrique et transitive. Un ensemble bien ordonné est un ensemble ordonné dans lequel tout sous-ensemble non vide admet un plus petit élément. Le principe de bon ordre affirme que tout ensemble peut être bien ordonné. Ce principe est équivalent à l’axiome du choix.
Exemples sur « Ensembles ordonnés, ensembles bien ordonnés, principe de bon ordre »
1. L’ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) avec l’ordre usuel \(\le\) est un ensemble bien ordonné. Tout sous-ensemble non vide de \(\mathbb{N}\) a un plus petit élément.
2. L’ensemble des entiers relatifs \(\mathbb{Z}\) avec l’ordre usuel n’est pas bien ordonné. Par exemple, \(\mathbb{Z}\) lui-même n’a pas de plus petit élément.
3. L’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) avec l’ordre usuel n’est pas bien ordonné. L’intervalle ouvert \(]0, 1[\) n’a pas de plus petit élément.
4. Tout ensemble fini totalement ordonné est bien ordonné.
5. Le principe de bon ordre permet d’affirmer que l’ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) peut être bien ordonné, même si un tel bon ordre ne peut pas être explicitement construit. L’existence d’un bon ordre sur \(\mathbb{R}\) est une conséquence non triviale de l’axiome du choix.