Épigraphe


En mathématiques, l’épigraphe d’une fonction \( f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) est un ensemble défini comme l’ensemble des points situés au-dessus du graphe de la fonction. Formellement, l’épigraphe de \( f \) est donné par :

\[ \text{epi}(f) = \{ (\mathbf{x}, y) \in \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \mid y \geq f(\mathbf{x}) \} \]

L’épigraphe est un concept central en analyse convexe et en optimisation, car il permet de caractériser les propriétés de convexité d’une fonction. Une fonction \( f \) est convexe si et seulement si son épigraphe est un ensemble convexe.

Voici quelques propriétés importantes de l’épigraphe :

  • Convexité : Si \( f \) est une fonction convexe, alors \( \text{epi}(f) \) est un ensemble convexe.
  • Fermeture : L’épigraphe d’une fonction continue est un ensemble fermé.
  • Sous-niveau : Les ensembles de sous-niveau de \( f \) sont liés à l’épigraphe. Par exemple, l’ensemble \( \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid f(\mathbf{x}) \leq c \} \) est la projection de \( \text{epi}(f) \) sur \( \mathbb{R}^n \) pour \( y = c \).

L’épigraphe est utilisé dans de nombreux domaines, notamment :

  • Optimisation convexe : Pour étudier les propriétés des fonctions convexes et leurs minima.
  • Analyse fonctionnelle : Pour caractériser les fonctions semi-continues inférieurement.
  • Théorie des ensembles : Pour étudier les relations entre les ensembles et les fonctions.

Exemples sur Épigraphe


Exemple 1 : Épigraphe d’une fonction linéaire

Considérons la fonction linéaire \( f(x) = 2x + 3 \). Son épigraphe est donné par :

\[ \text{epi}(f) = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq 2x + 3 \} \]

Cet ensemble est un demi-plan fermé situé au-dessus de la droite \( y = 2x + 3 \). Comme \( f \) est une fonction convexe, son épigraphe est également un ensemble convexe.


Exemple 2 : Épigraphe d’une fonction quadratique

Considérons la fonction quadratique \( f(x) = x^2 \). Son épigraphe est donné par :

\[ \text{epi}(f) = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \geq x^2 \} \]

Cet ensemble est la région du plan située au-dessus de la parabole \( y = x^2 \). Comme \( f \) est une fonction convexe, son épigraphe est également un ensemble convexe. Cet exemple illustre comment l’épigraphe capture la convexité d’une fonction.