Équation de Bessel

Équation de Bessel

Définitions et Théorèmes

L’équation de Bessel est une équation différentielle linéaire du second ordre qui apparaît fréquemment dans les problèmes de physique mathématique, notamment en mécanique des fluides, en électromagnétisme et en acoustique. Elle s’écrit sous la forme :

\[ x^2 y »(x) + x y'(x) + (x^2 – \nu^2) y(x) = 0 \]

où \( \nu \) est un paramètre réel ou complexe appelé ordre de l’équation de Bessel.

Théorème : Les solutions de l’équation de Bessel sont appelées fonctions de Bessel. Elles se divisent en deux catégories :

  • Les fonctions de Bessel de première espèce, notées \( J_\nu(x) \).
  • Les fonctions de Bessel de deuxième espèce, notées \( Y_\nu(x) \).

La solution générale de l’équation de Bessel est une combinaison linéaire de ces deux fonctions :

\[ y(x) = A J_\nu(x) + B Y_\nu(x) \]

où \( A \) et \( B \) sont des constantes déterminées par les conditions initiales.

Exemples sur l’équation de Bessel

Exemple 1 : Fonction de Bessel de première espèce

Considérons l’équation de Bessel d’ordre \( \nu = 0 \) :

\[ x^2 y »(x) + x y'(x) + x^2 y(x) = 0 \]

Étapes de résolution :

  1. Identifier l’ordre \( \nu = 0 \).
  2. La solution générale est donnée par :

    3. \[ y(x) = A J_0(x) + B Y_0(x) \]

  3. La fonction de Bessel de première espèce \( J_0(x) \) est définie par la série :

    4. \[ J_0(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(k!)^2} \left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \]

  4. La fonction de Bessel de deuxième espèce \( Y_0(x) \) est définie comme une combinaison linéaire de \( J_0(x) \) et d’une fonction logarithmique.

Exemple 2 : Fonction de Bessel modifiée

Considérons l’équation de Bessel modifiée d’ordre \( \nu = 1 \) :

\[ x^2 y »(x) + x y'(x) – (x^2 + 1) y(x) = 0 \]

Étapes de résolution :

  1. Identifier l’ordre \( \nu = 1 \).
  2. La solution générale est donnée par :

    3. \[ y(x) = A I_1(x) + B K_1(x) \]

  3. Les fonctions \( I_1(x) \) et \( K_1(x) \) sont respectivement les fonctions de Bessel modifiées de première et deuxième espèce.
  4. La fonction \( I_1(x) \) est définie par :

    5. \[ I_1(x) = i^{-1} J_1(ix) \]

  5. La fonction \( K_1(x) \) est définie comme une combinaison linéaire de \( I_1(x) \) et d’une fonction logarithmique.