Équation de Cauchy-Euler

Définitions et Théorèmes

L’équation de Cauchy-Euler, également appelée équation d’Euler-Cauchy, est une équation différentielle linéaire du second ordre de la forme :

$$x^{2}y»(x)+ax{y}^{\prime }(x)+by(x)=0$$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles. Cette équation est caractérisée par ses coefficients variables en puissances de $x$.

Théorème : Pour résoudre l’équation de Cauchy-Euler, on utilise la substitution $y(x)=x^r$, où $r$ est une constante à déterminer. En substituant $y(x)=x^r$ dans l’équation, on obtient l’équation caractéristique :

$$r(r–1)+ar+b=0$$

Les solutions de cette équation quadratique déterminent la forme générale de la solution de l’équation de Cauchy-Euler.

Cas possibles :

• Si les racines $r_1$ et $r_2$ sont réelles et distinctes, la solution générale est :

$$y(x)=C_1{x}^{r_1}+C_2{x}^{r_2}$$

• Si les racines sont réelles et égales ($r_1=r_2$), la solution générale est :

$$y(x)=(C_1+C_2\ln x)x^{r_1}$$

• Si les racines sont complexes conjuguées ($r=\alpha \pm i\beta$), la solution générale est :

$$y(x)=x^{\alpha }(C_1\cos (\beta \ln x)+C_2\sin (\beta \ln x))$$