Équation différentielle linéaire homogène
Une équation différentielle linéaire homogène est une équation de la forme :
\[ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + … + a_1(x)y’ + a_0(x)y = 0 \]où :
- \( a_i(x) \) sont des fonctions continues sur un intervalle I
- \( a_n(x) \neq 0 \) sur I
- \( y^{(k)} \) représente la dérivée k-ième de y
Propriétés fondamentales :
- L’ensemble des solutions forme un espace vectoriel
- La dimension de cet espace est égale à l’ordre n de l’équation
- Si \( y_1 \) et \( y_2 \) sont solutions, alors \( c_1y_1 + c_2y_2 \) est aussi solution
Théorème fondamental :
Pour une équation d’ordre n, il existe n solutions linéairement indépendantes formant une base de l’espace des solutions.
Exemples sur l’équation différentielle linéaire homogène
Exemple 1 :
Considérons l’équation : \[ y » + 4y = 0 \]
Solution :
- Équation caractéristique : \( r^2 + 4 = 0 \)
- Racines : \( r = \pm 2i \)
- Solution générale : \[ y(x) = c_1\cos(2x) + c_2\sin(2x) \]
Exemple 2 :
Considérons l’équation : \[ y » – 2y’ + y = 0 \]
Solution :
- Équation caractéristique : \( r^2 – 2r + 1 = 0 \)
- Racine double : \( r = 1 \)
- Solution générale : \[ y(x) = (c_1 + c_2x)e^x \]