Équation différentielle non linéaire
Une équation différentielle non linéaire est une équation différentielle dans laquelle la fonction inconnue ou ses dérivées apparaissent de manière non linéaire. Contrairement aux équations différentielles linéaires, les équations non linéaires sont souvent plus complexes à résoudre et peuvent présenter des comportements riches et variés, tels que des solutions multiples, des singularités ou des phénomènes chaotiques.
- Une équation différentielle non linéaire d’ordre \( n \) est de la forme : \[ F(x, y, y’, y », \dots, y^{(n)}) = 0 \]
- Les équations non linéaires ne peuvent pas être exprimées comme une combinaison linéaire de la fonction inconnue et de ses dérivées.
- Les méthodes de résolution incluent la séparation des variables, les transformations, les approximations numériques et les méthodes graphiques.
Les équations différentielles non linéaires sont omniprésentes en physique, biologie, économie et ingénierie pour modéliser des systèmes complexes.
Exemples sur Équation différentielle non linéaire
Exemple 1 : Équation de Bernoulli
L’équation de Bernoulli est une équation différentielle non linéaire de la forme :
\[ y’ + P(x)y = Q(x)y^n \]où \( n \neq 0, 1 \). Considérons l’exemple suivant :
\[ y’ + y = y^2 \]Pour résoudre cette équation, on utilise la substitution \( v = y^{1-n} = y^{-1} \). En dérivant, on obtient :
\[ v’ = -y^{-2}y’ \]En substituant dans l’équation, on obtient une équation linéaire en \( v \) :
\[ v’ – v = -1 \]La solution générale est :
\[ v(x) = 1 + Ce^x \implies y(x) = \frac{1}{1 + Ce^x} \]où \( C \) est une constante d’intégration.
Exemple 2 : Équation de Riccati
L’équation de Riccati est une équation différentielle non linéaire de la forme :
\[ y’ = P(x)y^2 + Q(x)y + R(x) \]Considérons l’exemple suivant :
\[ y’ = y^2 – x \]Cette équation est difficile à résoudre analytiquement, mais on peut étudier son comportement qualitatif. Par exemple, pour \( x = 0 \), l’équation devient :
\[ y’ = y^2 \]En séparant les variables, on obtient :
\[ \frac{dy}{y^2} = dx \implies -\frac{1}{y} = x + C \implies y(x) = -\frac{1}{x + C} \]où \( C \) est une constante d’intégration. Cette solution montre que \( y(x) \) a une singularité en \( x = -C \).