Équation différentielle ordinaire (EDO)
Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation qui relie une fonction inconnue à ses dérivées. Elle est dite ordinaire lorsque la fonction dépend d’une seule variable. Les EDO sont largement utilisées en mathématiques, physique, ingénierie et biologie pour modéliser des phénomènes dynamiques.
- Une EDO d’ordre \( n \) est une équation de la forme : \[ F(x, y, y’, y », \dots, y^{(n)}) = 0 \]
- Une EDO est dite linéaire si elle peut s’écrire sous la forme : \[ a_n(x)y^{(n)} + a_{n-1}(x)y^{(n-1)} + \dots + a_1(x)y’ + a_0(x)y = b(x) \]
- Une EDO est dite homogène si \( b(x) = 0 \), sinon elle est dite non homogène.
Les EDO sont classées selon leur ordre, leur linéarité et leur homogénéité. La résolution d’une EDO consiste à trouver toutes les fonctions \( y(x) \) qui satisfont l’équation.
Exemples sur Équation différentielle ordinaire (EDO)
Exemple 1 : EDO linéaire du premier ordre
Considérons l’équation différentielle linéaire du premier ordre :
\[ y’ + 2y = 0 \]Cette équation est homogène. Pour la résoudre, on utilise la méthode de séparation des variables :
\[ \frac{dy}{dx} = -2y \implies \frac{dy}{y} = -2dx \]En intégrant, on obtient :
\[ \ln|y| = -2x + C \implies y(x) = Ce^{-2x} \]où \( C \) est une constante d’intégration. La solution générale est donc :
\[ y(x) = Ce^{-2x} \]Exemple 2 : EDO linéaire du second ordre
Considérons l’équation différentielle linéaire du second ordre :
\[ y » + 4y = 0 \]Cette équation est homogène et à coefficients constants. Pour la résoudre, on utilise l’équation caractéristique :
\[ r^2 + 4 = 0 \implies r = \pm 2i \]Les solutions de l’équation caractéristique sont complexes conjuguées. La solution générale est donc :
\[ y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \]où \( C_1 \) et \( C_2 \) sont des constantes d’intégration.