Équations trigonométriques complexes
Définitions et théorèmes
Les équations trigonométriques complexes sont des équations impliquant des fonctions trigonométriques et des nombres complexes. Elles sont cruciales en mathématiques avancées, notamment en analyse complexe.
Définitions
Une équation trigonométrique complexe est une équation de la forme \( f(z) = 0 \), où \( f \) est une fonction trigonométrique de variable complexe \( z \). Par exemple :
\[ e^{iz} = \cos(z) + i\sin(z) \]
Théorèmes
Le théorème d’Euler pour les nombres complexes stipule que :
\[ e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta) \]
De plus, les fonctions trigonométriques peuvent être étendues aux nombres complexes :
\[ \cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \]
\[ \sin(z) = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i} \]
Exemples sur les équations trigonométriques complexes
Exemple 1 : Résoudre l’équation \( \cos(z) = 0 \) pour \( z \) complexe.
En utilisant la définition de la fonction cosinus pour les nombres complexes :
\[ \cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} = 0 \]
Cela implique que \( e^{iz} = -e^{-iz} \), donc \( e^{2iz} = -1 \). En prenant le logarithme complexe :
\[ 2iz = i(2k+1)\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{Z} \]
\[ z = (2k+1)\frac{\pi}{2} \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{Z} \]
Exemple 2 : Résoudre l’équation \( \sin(z) = i \) pour \( z \) complexe.
En utilisant la définition de la fonction sinus pour les nombres complexes :
\[ \sin(z) = \frac{e^{iz} – e^{-iz}}{2i} = i \]
Multiplication par \( 2i \) donne :
\[ e^{iz} – e^{-iz} = -2 \]
Posons \( w = e^{iz} \), alors \( w – \frac{1}{w} = -2 \), ce qui donne :
\[ w^2 + 2w – 1 = 0 \]
Résolvons cette équation quadratique :
\[ w = -1 \pm \sqrt{2} \]
En revenant à \( z \) :
\[ e^{iz} = -1 + \sqrt{2} \quad \text{ou} \quad e^{iz} = -1 – \sqrt{2} \]
\[ z = -i\ln(-1 + \sqrt{2}) \quad \text{ou} \quad z = -i\ln(-1 – \sqrt{2}) \]
Exemple 3 : Résoudre l’équation \( e^{iz} = 1 + i \) pour \( z \) complexe.
En prenant le logarithme complexe des deux côtés :
\[ iz = \ln(1 + i) \]
Sachant que \( 1 + i \) peut être écrit en forme exponentielle :
\[ 1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}} \]
Alors :
\[ \ln(1 + i) = \ln(\sqrt{2}) + i\frac{\pi}{4} \]
\[ z = -i\left(\ln(\sqrt{2}) + i\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4} – i\ln(\sqrt{2}) \]