Exercices corrigés – Calcul d’Intégrales par Substitution

Pour calculer la primitive de $f(x)=2x\cdot e^{x^2}$, on utilise la substitution $u=x^2$. Alors $du=2xdx$. L’intégrale devient : $$\int 2x\cdot e^{x^2}dx=\int e^{u}du=e^u+C=e^{x^2}+C$$ Donc, la primitive de $f(x)$ est $F(x)=e^{x^2}+C$.

On sait que la dérivée de $\arctan (x)$ est $\frac{1}{1+x^2}$. Donc, en intégrant $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$, on obtient bien : $$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan (x)+C$$

On utilise l’identité trigonométrique : $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$. Donc : $$h(x)=\sin (x)\cos (x)=\frac{1}{2}\sin (2x)$$ La primitive de $\sin (2x)$ est $-\frac{1}{2}\cos (2x)+C$. En utilisant la formule du cosinus double, on a : $$-\frac{1}{2}\cos (2x)=-\frac{1}{2}(1–2{\sin }^2(x))={\sin }^2(x)–\frac{1}{2}$$ Donc, la primitive de $h(x)$ est : $$\int h(x)dx=\int \frac{1}{2}\sin (2x)dx=\frac{1}{2}({\sin }^2(x)–\frac{1}{2})+C=\frac{1}{2}{\sin }^2(x)+C_1$$ où $C_1=C–\frac{1}{4}$ est une constante d’intégration. On peut donc écrire la primitive sous la forme $\frac{1}{2}{\sin }^2(x)+C$.

On a vu précédemment que $\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$. Donc, en utilisant le résultat de la question 3, la primitive de $k(x)=\sin (2x)$ est : $$\int \sin (2x)dx=2\int \sin (x)\cos (x)dx=2(\frac{1}{2}{\sin }^2(x)+C)={\sin }^2(x)+C^{\prime }$$ où $C^{\prime }=2C$ est une constante d’intégration. On peut aussi utiliser la formule du cosinus double pour une autre forme de la primitive : $$\int \sin (2x)dx=-\frac{1}{2}\cos (2x)+C»=-\frac{1}{2}(1–2{\sin }^2(x))+C»={\sin }^2(x)–\frac{1}{2}+C»$$ où $C»$ est une constante d’intégration. En ajustant la constante, on retrouve bien ${\sin }^2(x)+C$ comme primitive.