Exercice 1 – Primitives avec paramètre réel
Soit la fonction f définie sur ℝ, dépendant d’un paramètre réel a : \[ f(x) = \frac{x^2}{x^2 + a^2} \]
- Calculer
- La dérivée de f(x)
- Une primitive de f(x) dans le cas où a ≠ 0
- Montrer que pour a = 0, f(x) = 1 pour tout x ≠ 0
- Vérifier que la primitive trouvée n’est pas valable pour a = 0
- En déduire une primitive de f(x) dans le cas où a = 0
Soit la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \), dépendant d’un paramètre réel \( a \):
\[ f(x) = \frac{x^2}{x^2 + a^2} \]- Calculer
- La dérivée de \( f(x) \):
- Une primitive de \( f(x) \) dans le cas où \( a \neq 0 \):
Pour calculer la dérivée, on utilise la formule du quotient:
\[ f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + a^2) – x^2(2x)}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{2x(x^2 + a^2 – x^2)}{(x^2 + a^2)^2} = \frac{2xa^2}{(x^2 + a^2)^2}. \]Ainsi, la dérivée est :
\[ f'(x) = \frac{2xa^2}{(x^2 + a^2)^2}. \]Pour trouver une primitive, on remarque que :
\[ f(x) = 1 – \frac{a^2}{x^2 + a^2}. \]Une primitive de \( \frac{1}{x^2 + a^2} \) est \( \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) \). Donc :
\[ \int f(x) \, dx = x – a \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C, \quad \text{où } C \text{ est une constante.} \] - Montrer que pour \( a = 0 \), \( f(x) = 1 \) pour tout \( x \neq 0 \):
- Vérifier que la primitive trouvée n’est pas valable pour \( a = 0 \):
- En déduire une primitive de \( f(x) \) dans le cas où \( a = 0 \):
Si \( a = 0 \), la fonction devient :
\[ f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 0^2} = \frac{x^2}{x^2} = 1, \quad \text{pour tout } x \neq 0. \]La primitive trouvée est :
\[ F(x) = x – a \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C. \]Si \( a = 0 \), l’expression \( \arctan\left(\frac{x}{a}\right) \) n’est pas définie. Par conséquent, cette primitive n’est pas valable pour \( a = 0 \).
Si \( a = 0 \), \( f(x) = 1 \). Une primitive de \( f(x) \) est donc :
\[ F(x) = \int 1 \, dx = x + C, \quad \text{où } C \text{ est une constante.} \]Exercice 2 – Étude paramétrique complexe
Soit la fonction g définie sur ℝ+*, dépendant d’un paramètre réel λ : \[ g(x) = \frac{\ln(x)}{x^\lambda} \]
- Calculer
- Une primitive de g(x) pour λ = 1
- Une primitive de g(x) pour λ = 2
- Montrer que pour λ = -1, la primitive fait intervenir \(\ln(\ln(x))\)
- Vérifier que la forme générale de la primitive dépend de la valeur de λ
- En déduire une expression générale de la primitive pour λ ≠ -1
Soit la fonction \( g \) définie sur \( \mathbb{R}^+* \), dépendant d’un paramètre réel \( \lambda \) :
\[ g(x) = \frac{\ln(x)}{x^\lambda} \]- Calculer
-
Une primitive de \( g(x) \) pour \( \lambda = 1 \)
La primitive de \( g(x) \) lorsque \( \lambda = 1 \) est :
\[ \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx \] On utilise l’intégration par parties avec \( u = \ln(x) \) et \( dv = \frac{1}{x} \, dx \). Alors \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = x \). \[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \] \[ \int \frac{\ln(x)}{x} \, dx = x\ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = x\ln(x) – \int 1 \, dx \] \[ = x\ln(x) – x + C \] où \( C \) est la constante d’intégration. -
Une primitive de \( g(x) \) pour \( \lambda = 2 \)
La primitive de \( g(x) \) lorsque \( \lambda = 2 \) est :
\[ \int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx \] On utilise à nouveau l’intégration par parties avec \( u = \ln(x) \) et \( dv = \frac{1}{x^2} \, dx \). Alors \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = -\frac{1}{x} \). \[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \] \[ \int \frac{\ln(x)}{x^2} \, dx = -\frac{\ln(x)}{x} – \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = -\frac{\ln(x)}{x} + \int \frac{1}{x^2} \, dx \] \[ = -\frac{\ln(x)}{x} – \frac{1}{x} + C \] où \( C \) est la constante d’intégration.
-
Une primitive de \( g(x) \) pour \( \lambda = 1 \)
- Montrer que pour \( \lambda = -1 \), la primitive fait intervenir \( \ln(x) \)
Lorsque \( \lambda = -1 \), on a :
\[ g(x) = \frac{\ln(x)}{x^{-1}} = x\ln(x) \]La primitive de \( x\ln(x) \) est :
\[ \int x\ln(x) \, dx \] On utilise l’intégration par parties avec \( u = \ln(x) \) et \( dv = x \, dx \). Alors \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = \frac{x^2}{2} \). \[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \] \[ \int x\ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2}\ln(x) – \int \frac{x}{2} \, dx \] \[ = \frac{x^2}{2}\ln(x) – \frac{x^2}{4} + C \]On voit bien que la primitive fait intervenir \( \ln(x) \).
- Vérifier que la forme générale de la primitive dépend de la valeur de \( \lambda \)
Comme nous l’avons vu dans les questions précédentes, les primitives pour \( \lambda = 1 \), \( \lambda = 2 \), et \( \lambda = -1 \) sont différentes. Par conséquent, la forme générale de la primitive dépend bien de la valeur de \( \lambda \).
- En déduire une expression générale de la primitive pour \( \lambda \neq -1 \)
Pour \( \lambda \neq -1 \), la primitive de \( g(x) \) est donnée par :
\[ \int \frac{\ln(x)}{x^\lambda} \, dx \] On utilise l’intégration par parties avec \( u = \ln(x) \) et \( dv = x^{-\lambda} \, dx \). Alors \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = \frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda} \) pour \( \lambda \neq 1 \). \[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \] \[ \int \frac{\ln(x)}{x^\lambda} \, dx = \frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda} \ln(x) – \int \frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda} \cdot \frac{1}{x} \, dx \] \[ = \frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda} \ln(x) – \frac{1}{1-\lambda} \int x^{-\lambda} \, dx \] \[ = \frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda} \ln(x) – \frac{1}{1-\lambda} \cdot \frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda} + C \] \[ = \frac{x^{1-\lambda}}{1-\lambda} \left( \ln(x) – \frac{1}{1-\lambda} \right) + C \] où \( C \) est la constante d’intégration. Cette expression est valable pour \( \lambda \neq -1 \).
Exercice 3 – Primitive et intégration par parties
Soit la fonction h définie sur ℝ, dépendant d’un paramètre réel n ∈ ℕ* : \[ h(x) = x^n e^{-x^2} \]
- Calculer
- Une primitive de h(x) pour n = 1
- Une primitive de h(x) pour n = 2
- Montrer que pour tout n ≥ 1, il existe une relation de récurrence entre les primitives
- Vérifier que cette relation est valable pour n = 3
- En déduire une méthode générale pour calculer une primitive pour tout n
Soit la fonction h définie sur ℝ, dépendant d’un paramètre réel n ∈ ℕ* :
\[ h(x) = x^n e^{-x^2} \]- Calculer
- Une primitive de h(x) pour n = 1
- Une primitive de h(x) pour n = 2
- Montrer que pour tout n ≥ 1, il existe une relation de récurrence entre les primitives
- Vérifier que cette relation est valable pour n = 3
- En déduire une méthode générale pour calculer une primitive pour tout n
Solution :
-
- Pour n = 1 : \[ h(x) = x e^{-x^2} \] On utilise la substitution : \( u = -x^2 \), donc \( du = -2x dx \) et \( dx = -\frac{1}{2x} du \). \[ \int h(x) dx = \int x e^{-x^2} dx = \int e^u \left(-\frac{1}{2}\right) du = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \]
- Pour n = 2 : \[ h(x) = x^2 e^{-x^2} \] On utilise l’intégration par parties avec \( u = x \) et \( dv = x e^{-x^2} dx \). Donc \( du = dx \) et \( v = -\frac{1}{2} e^{-x^2} \) (résultat de la question précédente). \[ \int h(x) dx = \int x^2 e^{-x^2} dx = x \left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right) – \int \left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right) dx \] \[ = -\frac{1}{2} x e^{-x^2} + \frac{1}{2} \int e^{-x^2} dx \] On reconnaît la primitive de \( e^{-x^2} \) qui est \( -\frac{1}{2} e^{-x^2} \) (pour n=1). \[ = -\frac{1}{2} x e^{-x^2} + \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right) + C \] \[ = -\frac{1}{2} x e^{-x^2} – \frac{1}{4} e^{-x^2} + C \]
- On suppose qu’il existe une primitive Pn de h(x) pour un certain n. On cherche une relation entre Pn+1 et Pn. \[ \int x^{n+1} e^{-x^2} dx = \int x^n \cdot x e^{-x^2} dx \] On utilise l’intégration par parties avec \( u = x^n \) et \( dv = x e^{-x^2} dx \). Donc \( du = n x^{n-1} dx \) et \( v = -\frac{1}{2} e^{-x^2} \). \[ \int x^{n+1} e^{-x^2} dx = x^n \left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right) – \int \left(-\frac{1}{2} e^{-x^2}\right) n x^{n-1} dx \] \[ = -\frac{1}{2} x^n e^{-x^2} + \frac{n}{2} \int x^{n-1} e^{-x^2} dx \] Donc, si Pn est une primitive de xne-x2, alors : \[ P_{n+1} = -\frac{1}{2} x^n e^{-x^2} + \frac{n}{2} P_n + C \] Cette relation montre que la primitive de xn+1e-x2 peut être exprimée en fonction de la primitive de xne-x2.
- Pour n = 3 : On sait que \( P_2(x) = -\frac{1}{2} x e^{-x^2} – \frac{1}{4} e^{-x^2} + C \). D’après la relation de récurrence : \[ P_3 = -\frac{1}{2} x^2 e^{-x^2} + \frac{2}{2} P_2 + C \] \[ = -\frac{1}{2} x^2 e^{-x^2} + \left(-\frac{1}{2} x e^{-x^2} – \frac{1}{4} e^{-x^2}\right) + C \] \[ = -\frac{1}{2} x^2 e^{-x^2} – \frac{1}{2} x e^{-x^2} – \frac{1}{4} e^{-x^2} + C \] On vérifie que la dérivée de P3 est bien x3e-x2 : \[ P_3′(x) = \left(-\frac{1}{2} x^2 e^{-x^2}\right)’ + \left(-\frac{1}{2} x e^{-x^2}\right)’ + \left(-\frac{1}{4} e^{-x^2}\right)’ \] \[ = -\frac{1}{2} \left(2x e^{-x^2} + x^2 (-2x e^{-x^2})\right) – \frac{1}{2} \left(e^{-x^2} + x (-2x e^{-x^2})\right) – \frac{1}{4} (-2x e^{-x^2}) \] \[ = -\frac{1}{2} (2x e^{-x^2} – 2x^3 e^{-x^2}) – \frac{1}{2} (e^{-x^2} – 2x^2 e^{-x^2}) + \frac{1}{2} x e^{-x^2} \] \[ = -x e^{-x^2} + x^3 e^{-x^2} – \frac{1}{2} e^{-x^2} + x^2 e^{-x^2} + \frac{1}{2} x e^{-x^2} \] \[ = x^3 e^{-x^2} \] La dérivée de \( P_3(x) \) est bien \( x^3 e^{-x^2} \), ce qui confirme que la relation de récurrence est valable pour \( n = 3 \).
- En déduire une méthode générale pour calculer une primitive pour tout \( n \) : La relation de récurrence nous donne une méthode itérative pour calculer une primitive de \( h(x) = x^n e^{-x^2} \) pour tout \( n \geq 1 \). 1. On commence par la primitive de \( x e^{-x^2} \) que l’on connaît : \[ P_1(x) = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C_1 \] 2. Ensuite, on utilise la relation de récurrence pour calculer \( P_{n+1} \) à partir de \( P_n \) : \[ P_{n+1}(x) = -\frac{1}{2} x^n e^{-x^2} + \frac{n}{2} P_n(x) + C_{n+1} \] 3. On répète l’étape 2 jusqu’à obtenir la primitive pour le \( n \) souhaité. **Exemple pour \( n = 4 \) :** On a déjà \( P_3(x) = -\frac{1}{2} x^2 e^{-x^2} – \frac{1}{2} x e^{-x^2} – \frac{1}{4} e^{-x^2} + C_3 \) \[ P_4(x) = -\frac{1}{2} x^3 e^{-x^2} + \frac{3}{2} P_3(x) + C_4 \] \[ P_4(x) = -\frac{1}{2} x^3 e^{-x^2} + \frac{3}{2} \left(-\frac{1}{2} x^2 e^{-x^2} – \frac{1}{2} x e^{-x^2} – \frac{1}{4} e^{-x^2} + C_3\right) + C_4 \] \[ P_4(x) = -\frac{1}{2} x^3 e^{-x^2} – \frac{3}{4} x^2 e^{-x^2} – \frac{3}{4} x e^{-x^2} – \frac{3}{8} e^{-x^2} + \frac{3}{2}C_3 + C_4 \] On observe que le coefficient de chaque terme \( x^k e^{-x^2} \) suit une certaine logique. On peut conjecturer une forme générale pour \( P_n(x) \) : \[ P_n(x) = -\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{(n-k-1)!k!} x^{n-k-1} e^{-x^2} + C_n \] Cette forme peut être vérifiée par récurrence, en montrant qu’elle satisfait la relation de récurrence et que sa dérivée est bien \( x^n e^{-x^2} \). **Conclusion:** La méthode générale pour calculer une primitive de \( h(x) = x^n e^{-x^2} \) pour tout \( n \geq 1 \) consiste à utiliser la relation de récurrence : \[ P_{n+1}(x) = -\frac{1}{2} x^n e^{-x^2} + \frac{n}{2} P_n(x) + C_{n+1} \] en partant de \( P_1(x) = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C_1 \). Une forme close, bien que plus complexe, peut également être conjecturée.
Exercice 4 – Primitive et fonction rationnelle
Soit la fonction k définie sur ℝ\{0}, dépendant d’un paramètre réel α : \[ k(x) = \frac{1}{x(x^2 + \alpha^2)} \]
- Calculer
- La décomposition en éléments simples de k(x) pour α ≠ 0
- Une primitive de k(x) en fonction de α
- Montrer que la primitive change de forme quand α tend vers 0
- Vérifier que la limite de la primitive quand α → 0 existe
- En déduire une primitive de k(x) pour α = 0
Soit la fonction \( k \) définie sur \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \), dépendant d’un paramètre réel \( \alpha \) :
\[ k(x) = \frac{1}{x(x^2 + \alpha^2)} \]-
Calculer
- La décomposition en éléments simples de \( k(x) \) pour \( \alpha \neq 0 \) :
- Une primitive de \( k(x) \) en fonction de \( \alpha \) :
Pour \( \alpha \neq 0 \), les pôles de \( k(x) \) sont \( x = 0 \), \( x = i\alpha \) et \( x = -i\alpha \). On peut écrire :
\[ k(x) = \frac{A}{x} + \frac{B}{x – i\alpha} + \frac{C}{x + i\alpha} \]
En multipliant par \( x(x^2 + \alpha^2) \) et en identifiant les coefficients, on trouve :
\[ A = \frac{1}{\alpha^2} \]
\[ B = -\frac{i}{2\alpha^2} \]
\[ C = \frac{i}{2\alpha^2} \]
Donc, la décomposition en éléments simples est :
\[ k(x) = \frac{1}{\alpha^2 x} – \frac{i}{2\alpha^2 (x – i\alpha)} + \frac{i}{2\alpha^2 (x + i\alpha)} \]
En intégrant chaque terme de la décomposition, on obtient :
\[ K(x) = \frac{1}{\alpha^2} \ln|x| – \frac{i}{2\alpha^2} \ln|x – i\alpha| + \frac{i}{2\alpha^2} \ln|x + i\alpha| + C \]
-
Montrer que la primitive change de forme quand \( \alpha \) tend vers 0 :
Quand \( \alpha \to 0 \), les termes \( \ln|x – i\alpha| \) et \( \ln|x + i\alpha| \) nécessitent une attention particulière. On utilise la formule de développement asymptotique :
\[ \ln|x \pm i\alpha| = \ln|x| \pm i \arg(x \pm i\alpha) \]
En utilisant le développement en série de Taylor pour \( \arg(x \pm i\alpha) \) autour de \( \alpha = 0 \), on obtient:
\[ \arg(x \pm i\alpha) \approx \pm \alpha \]
Donc:
\[ \ln|x \pm i\alpha| \approx \ln|x| \pm i \alpha \]
La primitive devient :
\[ K(x) \approx \frac{1}{\alpha^2} \ln|x| – \frac{i}{2\alpha^2} (\ln|x| + i \alpha) + \frac{i}{2\alpha^2} (\ln|x| – i \alpha) + C \]
Simplifiant, on obtient :
\[ K(x) \approx \frac{1}{\alpha^2} \ln|x| – \frac{i}{2\alpha^2} \ln|x| + \frac{i}{2\alpha^2} \ln|x| – \frac{i}{2\alpha} + \frac{i}{2\alpha} + C \]
\[ K(x) \approx \frac{1}{\alpha^2} \ln|x| + C – \frac{1}{\alpha} \]
On voit que la forme de la primitive change et qu’un terme supplémentaire en \( \frac{1}{\alpha} \) apparaît.
-
Vérifier que la limite de la primitive quand \( \alpha \to 0 \) existe :
En prenant la limite de \( K(x) \) quand \( \alpha \to 0 \), on observe que le terme \( \frac{1}{\alpha^2} \ln|x| \) diverge. Cependant, on peut le réécrire en utilisant la dérivée de \( \ln|x| \) :
\[ \lim_{\alpha \to 0} \left( \frac{1}{\alpha^2} \ln|x| – \frac{1}{\alpha} \right) = \lim_{\alpha \to 0} \left( \frac{\ln|x|}{\alpha^2} – \frac{1}{\alpha} \right) \]
En utilisant L’Hôpital deux fois, on trouve:
\[ \lim_{\alpha \to 0} \left( \frac{\ln|x|}{\alpha^2} – \frac{1}{\alpha} \right) = \lim_{\alpha \to 0} \left( \frac{1}{\alpha x} \right) = \lim_{\alpha \to 0} \left( \frac{-1}{\alpha x^2} \right) = 0 \]
Donc, la limite de la primitive quand \( \alpha \to 0 \) existe et est finie.
-
En déduire une primitive de \( k(x) \) pour \( \alpha = 0 \) :
Pour \( \alpha = 0 \), la fonction \( k(x) \) devient :
\[ k(x) = \frac{1}{x^3} \]
En intégrant, on obtient une primitive :
\[ K(x) = -\frac{1}{2x^2} + C \]
Cette primitive est cohérente avec la limite obtenue précédemment quand \( \alpha \to 0 \).
Exercice 5 – Primitive et fonction trigonométrique
Soit la fonction p définie sur ]0,π[, dépendant d’un paramètre réel m > 0 : \[ p(x) = \frac{\sin(x)}{(1 + m\cos(x))^2} \]
- Calculer
- Une primitive de p(x) pour m = 1
- Une primitive de p(x) pour m = 2
- Montrer que pour |m| < 1, la primitive peut s'exprimer à l'aide de fonctions élémentaires
Soit la fonction \( p \) définie sur \( ]0, \pi[ \), dépendant d’un paramètre réel \( m > 0 \) :
\[ p(x) = \frac{\sin(x)}{(1 + m\cos(x))^2} \]-
Calculer
- Une primitive de \( p(x) \) pour \( m = 1 \) :
- Une primitive de \( p(x) \) pour \( m = 2 \) :
Pour \( m = 1 \), la fonction devient :
\[ p(x) = \frac{\sin(x)}{(1 + \cos(x))^2} \]
On utilise la formule de trigonométrie : \( 1 + \cos(x) = 2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \).
\[ p(x) = \frac{\sin(x)}{4\cos^4\left(\frac{x}{2}\right)} \]
On effectue le changement de variable \( u = \frac{x}{2} \), donc \( du = \frac{1}{2}dx \) et \( \sin(x) = 2\sin(u)\cos(u) \).
\[ p(x)dx = \frac{2\sin(u)\cos(u)}{4\cos^4(u)} \cdot 2du = \frac{\sin(u)}{\cos^3(u)}du = \tan(u)\sec^2(u)du \]
On reconnaît la dérivée de \( \tan(u) \), donc une primitive est :
\[ P(x) = \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C \]
Pour \( m = 2 \), la fonction devient :
\[ p(x) = \frac{\sin(x)}{(1 + 2\cos(x))^2} \]
On utilise le théorème de Weierstrass pour se ramener à une intégrale plus simple.
Posons \( t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \). On a alors \( \cos(x) = \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \) et \( \sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} \), et \( dx = \frac{2}{1 + t^2} dt \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{\sin(x)}{(1 + 2\cos(x))^2} dx = \int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\left(1 + 2\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt \]
Simplifions l’expression :
\[ = \int \frac{4t}{(1 + 2 – 2t^2)^2} dt = \int \frac{4t}{(3 – 2t^2)^2} dt \]
On effectue le changement de variable \( u = t^2 \), donc \( du = 2tdt \).
\[ = 2 \int \frac{1}{(3 – 2u)^2} du \]
C’est une intégrale de racine carrée, on trouve :
\[ = \frac{1}{3 – 2u} + C = \frac{1}{3 – 2\tan^2\left(\frac{x}{2}\right)} + C \]
-
Montrer que pour \( |m| < 1 \), la primitive peut s'exprimer à l'aide de fonctions élémentaires :
Pour \( |m| < 1 \), on peut utiliser une substitution trigonométrique. Posons \( t = \tan\left(\frac{x}{2}\right) \). On a alors \( \cos(x) = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} \) et \( \sin(x) = \frac{2t}{1 + t^2} \), et \( dx = \frac{2}{1 + t^2} dt \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{\sin(x)}{(1 + m\cos(x))^2} dx = \int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\left(1 + m\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)^2} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt \]
Simplifions l’expression :
\[ = \int \frac{4t}{\left(1 + \frac{m-mt^2}{1+t^2}\right)^2} dt = \int \frac{4t}{\left(\frac{1+m+(1-m)t^2}{1+t^2}\right)^2} dt \]
\[ = \int \frac{4t(1+t^2)^2}{\left(1+m+(1-m)t^2\right)^2} dt \]
On effectue le changement de variable \( u = t^2 \), donc \( du = 2tdt \).
\[ = 2 \int \frac{(1+u)^2}{\left(1+m+(1-m)u\right)^2} du \]
Cette intégrale est élémentaire pour \( |m| < 1 \), car le dénominateur est un polynôme du second degré. On peut utiliser la méthode du "cas quadratique" ou une autre méthode de résolution d'intégrales rationnelles pour obtenir une primitive en fonction de \( u \), puis de \( t \), et enfin de \( x \). Le résultat final sera une combinaison de fonctions rationnelles et de fonctions trigonométriques.