Exercice 1 : Intégration par parties – Niveau Facile
Calculer les primitives suivantes en utilisant la méthode d’intégration par parties.
- Calculer \(\int x e^x \, dx\).
- Déterminer \(\int x^2 \ln(x) \, dx\).
- Évaluer \(\int x \sin(x) \, dx\).
- Trouver \(\int e^x \cos(x) \, dx\).
- Calculer \(\int \ln(x) \, dx\).
-
Calculer \(\int x e^x \, dx\).
- Choisir \(u = x\) et \(dv = e^x \, dx\).
- Calculer \(du = dx\) et \(v = \int e^x \, dx = e^x\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int x e^x \, dx = x e^x – \int e^x \, dx\).
- Calculer l’intégrale restante : \(\int e^x \, dx = e^x\).
- Donner la solution : \(\int x e^x \, dx = x e^x – e^x + C = e^x (x – 1) + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Déterminer \(\int x^2 \ln(x) \, dx\).
- Choisir \(u = \ln(x)\) et \(dv = x^2 \, dx\).
- Calculer \(du = \frac{1}{x} \, dx\) et \(v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) – \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx\).
- Simplifier l’intégrale restante : \(\int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{9}\).
- Donner la solution : \(\int x^2 \ln(x) \, dx = \frac{x^3}{3} \ln(x) – \frac{x^3}{9} + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Évaluer \(\int x \sin(x) \, dx\).
- Choisir \(u = x\) et \(dv = \sin(x) \, dx\).
- Calculer \(du = dx\) et \(v = \int \sin(x) \, dx = -\cos(x)\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) – \int (-\cos(x)) \, dx\).
- Calculer l’intégrale restante : \(\int (-\cos(x)) \, dx = -\int \cos(x) \, dx = -\sin(x)\).
- Donner la solution : \(\int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Trouver \(\int e^x \cos(x) \, dx\).
- Choisir \(u = e^x\) et \(dv = \cos(x) \, dx\).
- Calculer \(du = e^x \, dx\) et \(v = \int \cos(x) \, dx = \sin(x)\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int e^x \cos(x) \, dx = e^x \sin(x) – \int \sin(x) e^x \, dx\).
- Recommencer l’intégration par parties pour \(\int \sin(x) e^x \, dx\) en prenant \(u = e^x\) et \(dv = \sin(x)dx\):
- Calculer \(du = e^x dx\) et \(v = -\cos(x)\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u dv = uv – \int v du\).
- Obtenir : \(\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) dx\).
- On voit que l’on retombe sur l’intégrale initiale \(\int e^x \cos(x) dx\). Posons \(I = \int e^x \cos(x) dx\). On a donc : \[I = e^x \sin(x) – \left(-e^x \cos(x) + I\right)\] ce qui donne : \[I = e^x \sin(x) + e^x \cos(x) – I\] et donc : \[2I = e^x \sin(x) + e^x \cos(x)\] ce qui implique : \[I = \frac{e^x \sin(x) + e^x \cos(x)}{2}\]
- Donner la solution : \(\int e^x \cos(x) \, dx = \frac{e^x \sin(x) + e^x \cos(x)}{2} + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Calculer \(\int \ln(x) \, dx\).
- Choisir \(u = \ln(x)\) et \(dv = dx\).
- Calculer \(du = \frac{1}{x} \, dx\) et \(v = \int dx = x\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx\).
- Simplifier l’intégrale restante : \(\int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = \int 1 \, dx = x\).
- Donner la solution : \(\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – x + C = x (\ln(x) – 1) + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
Exercice 2 : Intégration par parties – Niveau Moyen
Calculer les intégrales suivantes en utilisant la méthode d’intégration par parties.
- Calculer \(\int x^3 e^{x^2} \, dx\).
- Déterminer \(\int x \ln^2(x) \, dx\).
- Évaluer \(\int x^2 \sin(2x) \, dx\).
- Trouver \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx\).
- Calculer \(\int \arctan(x) \, dx\).
-
Calculer \(\int x^3 e^{x^2} \, dx\).
- Choisir \(u = x^2\) et \(dv = x e^{x^2} \, dx\).
- Calculer \(du = 2x \, dx\) et \(v = \int x e^{x^2} \, dx\).
- Pour calculer \(v\), utiliser la substitution \(w = x^2\), donc \(dw = 2x \, dx\) et \(x \, dx = \frac{1}{2} dw\). Alors, \(v = \int e^w \cdot \frac{1}{2} \, dw = \frac{1}{2} \int e^w \, dw = \frac{1}{2} e^w = \frac{1}{2} e^{x^2}\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int x^3 e^{x^2} \, dx = x^2 \cdot \frac{1}{2} e^{x^2} – \int \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x \, dx\).
- Simplifier : \(\int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} – \int x e^{x^2} \, dx\).
- Remarquer que \(\int x e^{x^2} \, dx\) est justement \(v\) calculé précédemment, donc \(\int x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} e^{x^2}\).
- Donner la solution : \(\int x^3 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} – \frac{1}{2} e^{x^2} + C = \frac{1}{2} e^{x^2} (x^2 – 1) + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Déterminer \(\int x \ln^2(x) \, dx\).
- Choisir \(u = \ln^2(x)\) et \(dv = x \, dx\).
- Calculer \(du = 2 \ln(x) \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{2 \ln(x)}{x} \, dx\) et \(v = \frac{x^2}{2}\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int x \ln^2(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2(x) – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2 \ln(x)}{x} \, dx\).
- Simplifier : \(\int x \ln^2(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2(x) – \int x \ln(x) \, dx\).
- Pour calculer \(\int x \ln(x) \, dx\), utiliser de nouveau l’intégration par parties en prenant \(u = \ln(x)\) et \(dv = x \, dx\), ce qui donne \(du = \frac{1}{x} \, dx\) et \(v = \frac{x^2}{2}\). Alors, \(\int x \ln(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) – \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) – \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \ln(x) – \frac{x^2}{4} + C’\).
- Substituer cette valeur dans l’expression initiale : \(\int x \ln^2(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2(x) – \left( \frac{x^2}{2} \ln(x) – \frac{x^2}{4} \right)\).
- Donner la solution : \(\int x \ln^2(x) \, dx = \frac{x^2}{2} \ln^2(x) – \frac{x^2}{2} \ln(x) + \frac{x^2}{4} + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Évaluer \(\int x^2 \sin(2x) \, dx\).
- Choisir \(u = x^2\) et \(dv = \sin(2x) \, dx\).
- Calculer \(du = 2x \, dx\) et \(v = -\frac{1}{2} \cos(2x)\) (car \(\int \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} \cos(2x)\)).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int x^2 \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} x^2 \cos(2x) – \int -\frac{1}{2} \cos(2x) \cdot 2x \, dx\).
- Simplifier : \(\int x^2 \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} x^2 \cos(2x) + \int x \cos(2x) \, dx\).
- Pour calculer \(\int x \cos(2x) \, dx\), utiliser l’intégration par parties en prenant \(u = x\) et \(dv = \cos(2x) \, dx\), ce qui donne \(du = dx\) et \(v = \frac{1}{2} \sin(2x)\). Alors, \(\int x \cos(2x) \, dx = \frac{1}{2} x \sin(2x) – \int \frac{1}{2} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C’\).
- Substituer cette valeur dans l’expression initiale : \(\int x^2 \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} x^2 \cos(2x) + \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x)\).
- Donner la solution : \(\int x^2 \sin(2x) \, dx = -\frac{1}{2} x^2 \cos(2x) + \frac{1}{2} x \sin(2x) + \frac{1}{4} \cos(2x) + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Trouver \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx\).
- Choisir \(u = \sin(3x)\) et \(dv = e^{2x} \, dx\).
- Calculer \(du = 3 \cos(3x) \, dx\) et \(v = \frac{1}{2} e^{2x}\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) – \int \frac{1}{2} e^{2x} \cdot 3 \cos(3x) \, dx\).
- Simplifier : \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) – \frac{3}{2} \int e^{2x} \cos(3x) \, dx\).
- Pour calculer \(\int e^{2x} \cos(3x) \, dx\), utiliser l’intégration par parties en prenant \(u = \cos(3x)\) et \(dv = e^{2x} \, dx\), ce qui donne \(du = -3 \sin(3x) \, dx\) et \(v = \frac{1}{2} e^{2x}\). Alors, \(\int e^{2x} \cos(3x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos(3x) – \int \frac{1}{2} e^{2x} \cdot (-3 \sin(3x)) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos(3x) + \frac{3}{2} \int e^{2x} \sin(3x) \, dx\).
- On voit que l’on retombe sur l’intégrale initiale \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx\). Posons \(I = \int e^{2x} \sin(3x) \, dx\). On a donc : \[I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) – \frac{3}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos(3x) + \frac{3}{2} I \right)\] ce qui donne : \[I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) – \frac{3}{4} e^{2x} \cos(3x) – \frac{9}{4} I\] et donc : \[I + \frac{9}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) – \frac{3}{4} e^{2x} \cos(3x)\] ce qui implique : \[\frac{13}{4} I = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(3x) – \frac{3}{4} e^{2x} \cos(3x)\] et donc : \[I = \frac{2}{13} e^{2x} \sin(3x) – \frac{3}{13} e^{2x} \cos(3x)\]
- Donner la solution : \(\int e^{2x} \sin(3x) \, dx = \frac{2}{13} e^{2x} \sin(3x) – \frac{3}{13} e^{2x} \cos(3x) + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
-
Calculer \(\int \arctan(x) \, dx\).
- Choisir \(u = \arctan(x)\) et \(dv = dx\).
- Calculer \(du = \frac{1}{1+x^2} \, dx\) et \(v = x\).
- Appliquer la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\).
- Obtenir : \(\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) – \int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx\).
- Pour calculer \(\int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx\), utiliser la substitution \(w = 1+x^2\), donc \(dw = 2x \, dx\) et \(x \, dx = \frac{1}{2} dw\). Alors, \(\int x \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx = \int \frac{1}{w} \cdot \frac{1}{2} \, dw = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} \, dw = \frac{1}{2} \ln|w| = \frac{1}{2} \ln|1+x^2|\). Puisque \(1+x^2\) est toujours positif, on a \(\frac{1}{2} \ln|1+x^2| = \frac{1}{2} \ln(1+x^2)\).
- Donner la solution : \(\int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) – \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C\), où \(C\) est la constante d’intégration.
Exercice 3 : Intégration par parties – Niveau Difficile
Utiliser l’intégration par parties pour résoudre les intégrales suivantes.
- Calculer \(\int x^2 e^{3x} \, dx\).
- Déterminer \(\int x^3 \ln(x) \, dx\).
- Évaluer \(\int x \cos(3x) \, dx\).
- Trouver \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\).
- Calculer \(\int \ln(2x) \, dx\).
- Calculer
\(\int x^2 e^{3x} \, dx\)
.
Soit \( u = x^2 \) et \( dv = e^{3x} \, dx \).
Alors, \( du = 2x \, dx \) et \( v = \frac{1}{3} e^{3x} \).
Appliquons la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\) .Nous obtenons : \(\int x^2 e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} – \int \frac{2}{3} x e^{3x} \, dx\) .
Utilisons de nouveau l’intégration par parties pour \(\int \frac{2}{3} x e^{3x} \, dx\) , en prenant \( u = x \) et \( dv = \frac{2}{3} e^{3x} \, dx \).
Alors, \( du = dx \) et \( v = \frac{2}{9} e^{3x} \).
Donc, \(\int \frac{2}{3} x e^{3x} \, dx = \frac{2}{9} x e^{3x} – \int \frac{2}{9} e^{3x} \, dx = \frac{2}{9} x e^{3x} – \frac{2}{27} e^{3x}\) .En combinant tout, la solution est : \(\int x^2 e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} – \left(\frac{2}{9} x e^{3x} – \frac{2}{27} e^{3x}\right) + C\) , ce qui simplifie en : \(\int x^2 e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x^2 e^{3x} – \frac{2}{9} x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C\) .
- Déterminer
\(\int x^3 \ln(x) \, dx\)
.
Soit \( u = \ln(x) \) et \( dv = x^3 \, dx \).
Alors, \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = \frac{1}{4} x^4 \).
Appliquons la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\) .Nous obtenons : \(\int x^3 \ln(x) \, dx = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) – \int \frac{1}{4} x^3 \, dx\) .
L’intégrale restante est simple : \(\int \frac{1}{4} x^3 \, dx = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} x^4 = \frac{1}{16} x^4\) .
Donc, la solution est : \(\int x^3 \ln(x) \, dx = \frac{1}{4} x^4 \ln(x) – \frac{1}{16} x^4 + C\) .
- Évaluer
\(\int x \cos(3x) \, dx\)
.
Soit \( u = x \) et \( dv = \cos(3x) \, dx \).
Alors, \( du = dx \) et \( v = \frac{1}{3} \sin(3x) \).
Appliquons la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\) .Nous obtenons : \(\int x \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} x \sin(3x) – \int \frac{1}{3} \sin(3x) \, dx\) .
L’intégrale restante est : \(\int \frac{1}{3} \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{9} \cos(3x)\) .
Donc, la solution est : \(\int x \cos(3x) \, dx = \frac{1}{3} x \sin(3x) + \frac{1}{9} \cos(3x) + C\) .
- Trouver
\(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\)
.
Soit \( u = \sin(x) \) et \( dv = e^{-x} \, dx \).
Alors, \( du = \cos(x) \, dx \) et \( v = -e^{-x} \).
Appliquons la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\) .Nous obtenons : \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) – \int -e^{-x} \cos(x) \, dx\) ce qui simplifie en : \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) + \int e^{-x} \cos(x) \, dx\) .
Utilisons de nouveau l’intégration par parties pour \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx\) , en prenant \( u = \cos(x) \) et \( dv = e^{-x} \, dx \).
Alors, \( du = -\sin(x) \, dx \) et \( v = -e^{-x} \).
Donc, \(\int e^{-x} \cos(x) \, dx = -e^{-x} \cos(x) – \int -e^{-x} (-\sin(x)) \, dx = -e^{-x} \cos(x) – \int e^{-x} \sin(x) \, dx\) .Nous avons maintenant une équation avec l’intégrale que nous cherchons : \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) + (-e^{-x} \cos(x) – \int e^{-x} \sin(x) \, dx)\) . Simplifions l’expression : \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) – e^{-x} \cos(x) – \int e^{-x} \sin(x) \, dx\) .
Ajoutons \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx\) des deux côtés pour résoudre : \(2\int e^{-x} \sin(x) \, dx = -e^{-x} \sin(x) – e^{-x} \cos(x)\) .
Divisons par 2 : \(\int e^{-x} \sin(x) \, dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) + C\) .
- Calculer
\(\int \ln(2x) \, dx\)
.
Utilisons la propriété des logarithmes : \(\ln(2x) = \ln(2) + \ln(x)\) .
L’intégrale de \(\ln(2)\) est simple : \(\int \ln(2) \, dx = \ln(2) x\) .
Pour \(\int \ln(x) \, dx\) , utilisons l’intégration par parties avec \( u = \ln(x) \) et \( dv = dx \).
Alors, \( du = \frac{1}{x} \, dx \) et \( v = x \).
Appliquons la formule d’intégration par parties : \(\int u \, dv = uv – \int v \, du\) .Nous obtenons : \(\int \ln(x) \, dx = x \ln(x) – \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln(x) – \int 1 \, dx = x \ln(x) – x\) .
En combinant tout, la solution est : \(\int \ln(2x) \, dx = \ln(2) x + x \ln(x) – x + C\) .