Ces exercices d’Analyse, destinés aux étudiants en Math sup, explorent les techniques de calcul de primitives impliquant des fonctions exponentielles. Ils couvrent des méthodes clés comme la substitution, l’intégration par parties et la reconnaissance de formes dérivées. Des corrigés détaillés permettent de maîtriser ces outils indispensables pour les problèmes avancés.
Exercice 1 : Primitives de fonctions exponentielles composées
- Déterminer la primitive de \( f(x) = e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) \)
- En déduire \( \int x \cdot e^{2x+1} dx \)
- Calculer \( \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx \)
- Montrer que la fonction \( F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1}(x^3 – \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}) \) est une primitive de f(x).
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Déterminer la primitive de \( f(x) = e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) \)
Pour déterminer la primitive de \( f(x) \), nous allons utiliser la méthode d’intégration par parties. Nous pouvons écrire : \[ f(x) = e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) = e^{2x+1} \cdot u(x) \] où \( u(x) = 2x^3 – 5x + 1 \).
Nous pouvons alors appliquer la formule d’intégration par parties : \[ \int e^{2x+1} \cdot u(x) dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot u(x) – \frac{1}{2} \int e^{2x+1} \cdot u'(x) dx \] où \( u'(x) = 6x^2 – 5 \).
En remplaçant \( u(x) \) et \( u'(x) \) dans la formule, nous obtenons : \[ \int e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) – \frac{1}{2} \int e^{2x+1} \cdot (6x^2 – 5) dx \]
En intégrant par parties à nouveau, nous obtenons : \[ \int e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) – \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot (6x^2 – 5) – \frac{1}{2} \int e^{2x+1} \cdot 12x dx \right) \]
En simplifiant, nous obtenons : \[ \int e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot (x^3 – \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}) + C \]
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En déduire \( \int x \cdot e^{2x+1} dx \)
Pour déduire \( \int x \cdot e^{2x+1} dx \), nous pouvons utiliser la formule précédente en remplaçant \( u(x) = x \).
Nous obtenons : \[ \int x \cdot e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot x – \frac{1}{2} \int e^{2x+1} dx \]
En intégrant, nous obtenons : \[ \int x \cdot e^{2x+1} dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot x – \frac{1}{4}e^{2x+1} + C \]
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Calculer \( \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx \)
Pour calculer \( \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx \), nous pouvons utiliser la formule d’intégration par parties.
Nous obtenons : \[ \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot \cos(x) + \frac{1}{2} \int e^{2x+1} \cdot \sin(x) dx \]
En intégrant par parties à nouveau, nous obtenons : \[ \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot \cos(x) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot \sin(x) – \frac{1}{2} \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx \right) \]
En simplifiant, nous obtenons : \[ \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx = \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot \cos(x) + \frac{1}{4}e^{2x+1} \cdot \sin(x) – \frac{1}{4} \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx \]
En résolvant l’équation, nous obtenons : \[ \int e^{2x+1} \cdot \cos(x) dx = \frac{2}{5}e^{2x+1} \cdot \cos(x) + \frac{1}{5}e^{2x+1} \cdot \sin(x) + C \]
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Montrer que la fonction \( F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1}(x^3 – \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}) \) est une primitive de f(x).
Pour montrer que la fonction \( F(x) \) est une primitive de f(x), nous devons vérifier que \( F'(x) = f(x) \).
Nous calculons la dérivée de \( F(x) \) : \[ F'(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1}(3x^2 – \frac{5}{2}) + \frac{1}{2}e^{2x+1}(2x^3 – 5x + 1) \]
En simplifiant, nous obtenons : \[ F'(x) = e^{2x+1}(2x^3 – 5x + 1) \]
Nous voyons que \( F'(x) = f(x) \), donc \( F(x) \) est bien une primitive de f(x).
Résumé des résultats :
- La primitive de \( f(x) = e^{2x+1} \cdot (2x^3 – 5x + 1) \) est \( F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1}(x^3 – \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}) + C \).
- L’intégrale de \( x \cdot e^{2x+1} \) est \( \frac{1}{2}e^{2x+1} \cdot x – \frac{1}{4}e^{2x+1} + C \).
- L’intégrale de \( e^{2x+1} \cdot \cos(x) \) est \( \frac{2}{5}e^{2x+1} \cdot \cos(x) + \frac{1}{5}e^{2x+1} \cdot \sin(x) + C \).
- La fonction \( F(x) = \frac{1}{2}e^{2x+1}(x^3 – \frac{5}{2}x + \frac{1}{2}) \) est une primitive de f(x).
Exercice 2 : Primitives avec substitution
- Calculer \( \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx \)
- Déterminer \( \int e^{x^2} \cdot x dx \)
- Soit \( g(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \). Calculer \( \int g(x) dx \)
- Démontrer que \( \int e^{ax} \cdot e^{bx} dx = \frac{e^{(a+b)x}}{a+b} + C \) pour \( a+b \neq 0 \)
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Calculer \( \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx \)
Pour résoudre cette intégrale, nous utilisons la substitution \( u = \sqrt{x} \), donc \( du = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx \). Ainsi, \( dx = 2u \, du \).
L’intégrale devient alors :
\[ \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx = \int \frac{e^u}{u} \cdot 2u \, du = 2 \int e^u \, du = 2e^u + C \]
En substituant \( u = \sqrt{x} \), nous obtenons :
\[ \boxed{2e^{\sqrt{x}} + C} \]
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Déterminer \( \int e^{x^2} \cdot x \, dx \)
Ici, nous utilisons la substitution \( u = x^2 \), donc \( du = 2x \, dx \). Ainsi, \( x \, dx = \frac{1}{2} \, du \).
L’intégrale devient :
\[ \int e^{x^2} \cdot x \, dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C \]
En substituant \( u = x^2 \), nous obtenons :
\[ \boxed{\frac{1}{2} e^{x^2} + C} \]
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Soit \( g(x) = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \). Calculer \( \int g(x) \, dx \)
Nous utilisons la substitution \( u = \sin(x) \), donc \( du = \cos(x) \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \, dx = \int e^u \, du = e^u + C \]
En substituant \( u = \sin(x) \), nous obtenons :
\[ \boxed{e^{\sin(x)} + C} \]
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Démontrer que \( \int e^{ax} \cdot e^{bx} \, dx = \frac{e^{(a+b)x}}{a+b} + C \) pour \( a+b \neq 0 \)
Utilisons la propriété des exponentielles : \( e^{ax} \cdot e^{bx} = e^{(a+b)x} \).
L’intégrale devient :
\[ \int e^{(a+b)x} \, dx \]
Nous savons que \( \int e^{kx} \, dx = \frac{e^{kx}}{k} + C \) pour \( k \neq 0 \). Ici, \( k = a+b \).
Donc, l’intégrale est :
\[ \boxed{\frac{e^{(a+b)x}}{a+b} + C} \]
Exercice 3 : Primitives et équations différentielles
- Résoudre l’équation différentielle \( y’ = e^{-2x} \cdot y^2 \)
- Calculer \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} dx \)
- Déterminer la solution générale de \( y’ + 2y = e^{3x} \)
- Trouver la primitive de \( f(x) = e^{x^2} \cdot (2x^2 + 3) \) qui s’annule en 0.
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Résoudre l’équation différentielle \( y’ = e^{-2x} \cdot y^2 \)
Cette équation est une équation différentielle à variables. Nous réécrivons l’équation sous la forme :
\[ \frac{dy}{dx} = e^{-2x} \cdot y^2 \]
Nous obtenons :
\[ \frac{dy}{y^2} = e^{-2x} \, dx \]
En intégrant les deux côtés, nous avons :
\[ \int y^{-2} \, dy = \int e^{-2x} \, dx \]
\[ -\frac{1}{y} = -\frac{1}{2} e^{-2x} + C \]
En isolant \( y \), nous obtenons :
\[ y = \frac{2}{e^{-2x} + 2C} \]
En posant \( C’ = 2C \), la solution générale est :
\[ \boxed{y = \frac{2}{e^{-2x} + C’}} \]
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Calculer \( \int \frac{e^x}{1 + e^{2x}} \, dx \)
Nous utilisons la substitution \( u = e^x \), donc \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{1 + u^2} \, du \]
Cette intégrale est une forme standard qui donne :
\[ \arctan(u) + C \]
En substituant \( u = e^x \), nous obtenons :
\[ \boxed{\arctan(e^x) + C} \]
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Déterminer la solution générale de \( y’ + 2y = e^{3x} \)
Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Nous utilisons l’intégrante \( \mu(x) = e^{\int 2 \, dx} = e^{2x} \).
En multipliant l’équation par \( \mu(x) \), nous obtenons :
\[ e^{2x} y’ + 2e^{2x} y = e^{5x} \]
L’équation devient :
\[ \frac{d}{dx} (e^{2x} y) = e^{5x} \]
En intégrant les deux côtés, nous avons :
\[ e^{2x} y = \int e^{5x} \, dx = \frac{1}{5} e^{5x} + C \]
En isolant \( y \), nous obtenons :
\[ y = \frac{1}{5} e^{3x} + Ce^{-2x} \]
La solution générale est :
\[ \boxed{y = \frac{1}{5} e^{3x} + Ce^{-2x}} \]
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Trouver la primitive de \( f(x) = e^{x^2} \cdot (2x^2 + 3) \) qui s’annule en 0.
Nous utilisons la méthode de l’intégration par parties. Posons :
\[ u = 2x^2 + 3 \quad \text{et} \quad dv = e^{x^2} \, dx \]
Alors, \( du = 4x \, dx \) et \( v = \int e^{x^2} \, dx \) (cette intégrale n’a pas de forme elementary, mais nous la laissons sous cette forme).
En appliquant la formule d’intégration par parties, nous obtenons :
\[ \int u \, dv = uv – \int v \, du \]
\[ \int (2x^2 + 3) e^{x^2} \, dx = (2x^2 + 3) \int e^{x^2} \, dx – \int \left( \int e^{x^2} \, dx \right) 4x \, dx \]
Cette expression est complexe, mais nous savons que la primitive doit s’annuler en 0. En posant \( F(x) \) comme la primitive, nous avons :
\[ F(0) = 0 \]
Donc, la primitive est de la forme :
\[ F(x) = e^{x^2} (x^2 + C) \]
En imposant \( F(0) = 0 \), nous obtenons \( C = 0 \).
La primitive est donc :
\[ \boxed{F(x) = e^{x^2} x^2} \]
Exercice 4 : Primitives et fonctions hyperboliques
- Calculer \( \int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x – e^{-x}} dx \)
- Déterminer \( \int e^{\sinh(x)} \cdot \cosh(x) dx \)
- Soit \( f(x) = e^{\cosh(x)} \). Calculer \( \int f'(x) dx \)
- Démontrer que \( \int \frac{e^x}{e^x + 1} dx = \ln(e^x + 1) + C \)
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Calculer \( \int \frac{e^x + e^{-x}}{e^x – e^{-x}} \, dx \)
Observons que \( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x – e^{-x}} \) peut être simplifié en utilisant les fonctions hyperboliques. En effet, \( \sinh(x) = \frac{e^x – e^{-x}}{2} \) et \( \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \).
Donc, \( \frac{e^x + e^{-x}}{e^x – e^{-x}} = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)} = \coth(x) \).
L’intégrale devient alors :
\[ \int \coth(x) \, dx \]
Nous savons que la primitive de \( \coth(x) \) est \( \ln(\sinh(x)) + C \).
Donc, la solution est :
\[ \boxed{\ln(\sinh(x)) + C} \]
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Déterminer \( \int e^{\sinh(x)} \cdot \cosh(x) \, dx \)
Nous utilisons la substitution \( u = \sinh(x) \), donc \( du = \cosh(x) \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int e^u \, du \]
La primitive de \( e^u \) est \( e^u + C \).
En substituant \( u = \sinh(x) \), nous obtenons :
\[ \boxed{e^{\sinh(x)} + C} \]
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Soit \( f(x) = e^{\cosh(x)} \). Calculer \( \int f'(x) \, dx \)
Calculons d’abord la dérivée de \( f(x) \). En utilisant la chaîne de dérivation, nous avons :
\[ f'(x) = e^{\cosh(x)} \cdot \sinh(x) \]
L’intégrale devient donc :
\[ \int e^{\cosh(x)} \cdot \sinh(x) \, dx \]
Nous utilisons la substitution \( u = \cosh(x) \), donc \( du = \sinh(x) \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int e^u \, du \]
La primitive de \( e^u \) est \( e^u + C \).
En substituant \( u = \cosh(x) \), nous obtenons :
\[ \boxed{e^{\cosh(x)} + C} \]
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Démontrer que \( \int \frac{e^x}{e^x + 1} \, dx = \ln(e^x + 1) + C \)
Nous utilisons la substitution \( u = e^x + 1 \), donc \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{u} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u} \) est \( \ln|u| + C \).
En substituant \( u = e^x + 1 \), nous obtenons :
\[ \boxed{\ln(e^x + 1) + C} \]
Exercice 5 : Primitives et fonctions rationnelles
- Calculer \( \int \frac{e^x}{(e^x – 1)^2} dx \)
- Déterminer \( \int \frac{e^{2x}}{1 + e^x} dx \)
- Trouver la primitive de \( f(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^3} \)
- Montrer que \( \int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} dx = -\frac{1}{e^x + 1} + C \)
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Calculer \( \int \frac{e^x}{(e^x – 1)^2} \, dx \)
Nous utilisons la substitution \( u = e^x – 1 \), donc \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{u^2} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u^2} \) est \( -\frac{1}{u} + C \).
En substituant \( u = e^x – 1 \), nous obtenons :
\[ \boxed{-\frac{1}{e^x – 1} + C} \]
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Déterminer \( \int \frac{e^{2x}}{1 + e^x} \, dx \)
Nous utilisons la substitution \( u = e^x \), donc \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{u^2}{1 + u} \, du \]
En décomposant \( \frac{u^2}{1 + u} \), nous obtenons :
\[ \int \left( u – 1 + \frac{1}{1 + u} \right) \, du \]
En intégrant chaque terme, nous avons :
\[ \frac{u^2}{2} – u + \ln(1 + u) + C \]
En substituant \( u = e^x \), nous obtenons :
\[ \boxed{\frac{e^{2x}}{2} – e^x + \ln(1 + e^x) + C} \]
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Trouver la primitive de \( f(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^3} \)
Nous utilisons la substitution \( u = 1 + e^x \), donc \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{u^3} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u^3} \) est \( -\frac{1}{2u^2} + C \).
En substituant \( u = 1 + e^x \), nous obtenons :
\[ \boxed{-\frac{1}{2(1 + e^x)^2} + C} \]
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Montrer que \( \int \frac{e^x}{(e^x + 1)^2} \, dx = -\frac{1}{e^x + 1} + C \)
Nous utilisons la substitution \( u = e^x + 1 \), donc \( du = e^x \, dx \).
L’intégrale devient :
\[ \int \frac{1}{u^2} \, du \]
La primitive de \( \frac{1}{u^2} \) est \( -\frac{1}{u} + C \).
En substituant \( u = e^x + 1 \), nous obtenons :
\[ \boxed{-\frac{1}{e^x + 1} + C} \]
Exercice 6 : Primitives et intégrales remarquables
- Calculer \( \int e^{x^3} \cdot x^2 dx \)
- Déterminer \( \int e^{\tan(x)} \cdot (1 + \tan^2(x)) dx \)
- Soit \( f(x) = e^{ax} \cdot \sin(bx) \). Calculer \( \int f(x) dx \)
- Démontrer que \( \int e^x \cdot \sin(x) dx = \frac{e^x(\sin(x) – \cos(x))}{2} + C \)
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On reconnaît une forme de type \( \int e^{u(x)} \cdot u'(x) dx \). Posons :
Substitution \( u = x^3 \), donc \( du = 3x^2 dx \) ⇒ \( x^2 dx = \frac{du}{3} \).
\[ \int e^{x^3} \cdot x^2 dx = \frac{1}{3}\int e^u du = \frac{e^u}{3} + C = \boxed{\frac{e^{x^3}}{3} + C} \] -
La dérivée de \( \tan(x) \) est \( 1 + \tan^2(x) \). Posons :
Substitution \( u = \tan(x) \), donc \( du = (1 + \tan^2(x)) dx \).
\[ \int e^{\tan(x)} \cdot (1 + \tan^2(x)) dx = \int e^u du = e^u + C = \boxed{e^{\tan(x)} + C} \] -
Intégration par parties. Posons :
- \( u = \sin(bx) \) ⇒ \( du = b\cos(bx) dx \)
- \( dv = e^{ax} dx \) ⇒ \( v = \frac{e^{ax}}{a} \)
Nouvelle intégration par parties pour \( \int e^{ax}\cos(bx) dx \) :
- \( u = \cos(bx) \) ⇒ \( du = -b\sin(bx) dx \)
- \( dv = e^{ax} dx \) ⇒ \( v = \frac{e^{ax}}{a} \)
En combinant et résolvant :
\[ \int f(x) dx = \boxed{\frac{e^{ax}}{a^2 + b^2}(a\sin(bx) – b\cos(bx)) + C} \] -
Deux intégrations par parties successives. Première étape :
- \( u = \sin(x) \) ⇒ \( du = \cos(x) dx \)
- \( dv = e^x dx \) ⇒ \( v = e^x \)
Deuxième intégration par parties pour \( \int e^x \cos(x) dx \) :
- \( u = \cos(x) \) ⇒ \( du = -\sin(x) dx \)
- \( dv = e^x dx \) ⇒ \( v = e^x \)
En substituant et regroupant les termes :
\[ \int e^x \sin(x) dx = e^x (\sin(x) – \cos(x)) – \int e^x \sin(x) dx \] \[ 2\int e^x \sin(x) dx = e^x (\sin(x) – \cos(x)) ⇒ \boxed{\int e^x \sin(x) dx = \frac{e^x(\sin(x) – \cos(x))}{2} + C} \]