La factorielle d’un nombre entier est une fonction mathématique essentielle, largement utilisée en combinatoire, en probabilités et en analyse. Elle permet de calculer le produit de tous les entiers positifs inférieurs ou égaux à un nombre donné.
Factorielle d’un nombre entier
La factorielle d’un nombre entier positif \(n\), notée \(n!\), est définie par :
\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1 \]
Par convention, la factorielle de 0 est définie comme :
\[ 0! = 1 \]
La factorielle croît très rapidement avec \(n\). Par exemple, \(5! = 120\) et \(10! = 3\,628\,800\). Elle est utilisée dans de nombreuses formules, notamment pour calculer le nombre de permutations ou de combinaisons d’un ensemble.
La fonction factorielle peut également être étendue aux nombres non entiers à l’aide de la fonction gamma, mais cela dépasse le cadre de cet article.
Exemples sur Factorielle d’un nombre entier
Prenons un exemple concret pour illustrer le calcul de la factorielle. Calculons \(4!\) :
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
Ainsi, \(4! = 24\).
Un autre exemple serait de calculer \(6!\) :
\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]
La factorielle de 6 est donc 720.
Enfin, considérons un exemple pratique en combinatoire. Supposons que nous voulons calculer le nombre de façons de permuter 3 éléments. Ce nombre est donné par \(3!\) :
\[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]
Il y a donc 6 permutations possibles pour 3 éléments.
Ces exemples montrent comment la factorielle d’un nombre entier est utilisée pour résoudre des problèmes de dénombrement et de combinatoire.