Filtres: passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande

Filtres: passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande

Formules à savoir

Pour comprendre les Filtres: passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande, voici les formules clés :

• Fonction de transfert \(H(j\omega)\): Décrit comment un filtre modifie l’amplitude et la phase d’un signal en fonction de la fréquence \(\omega\).
• Fréquence de coupure \(\omega_c\) (ou \(f_c\) en Hz): La fréquence à laquelle l’amplitude du signal est atténuée de 3 dB (environ 70.7% de son amplitude d’origine) pour les filtres passe-bas et passe-haut.
• Bande passante: L’intervalle de fréquences qui sont transmises par le filtre avec une atténuation acceptable.
• Ordre du filtre: Indique la pente d’atténuation du filtre. Plus l’ordre est élevé, plus la pente est raide (atténuation plus rapide). Les filtres du premier ordre ont une pente de -20 dB/décade (ou +20 dB/décade pour les passe-haut), les filtres du second ordre -40 dB/décade etc..
• Filtre passe-bas: Laisse passer les basses fréquences et bloque les hautes fréquences. Exemple: \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\) (filtre passe-bas du premier ordre).
• Filtre passe-haut: Laisse passer les hautes fréquences et bloque les basses fréquences. Exemple: \(H(j\omega) = \frac{j\frac{\omega}{\omega_c}}{1 + j\frac{\omega}{\omega_c}}\) (filtre passe-haut du premier ordre).
• Filtre passe-bande: Laisse passer une bande de fréquences spécifique et bloque les autres.
• Filtre coupe-bande (ou réjecteur de bande): Bloque une bande de fréquences spécifique et laisse passer les autres.

Exemples sur les Filtres: passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande

Voyons quelques exemples de Filtres: passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande.

Exemple 1 : Filtre passe-bas RC. Considérons un circuit RC simple. La tension d’entrée est appliquée aux bornes de la résistance et la tension de sortie est prise aux bornes du condensateur. On étudie le comportement du filtre à différentes fréquences, ce qui permet de mieux analyser la réponse fréquentielle du système.

Solution: C’est un filtre passe-bas du premier ordre. Sa fonction de transfert est \(H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}\). La fréquence de coupure est \(\omega_c = \frac{1}{RC}\). Pour les basses fréquences (\(\omega \ll \omega_c\)), l’amplitude de sortie est proche de l’amplitude d’entrée. Pour les hautes fréquences (\(\omega \gg \omega_c\)), l’amplitude de sortie est fortement atténuée. C’est une application pour supprimer le bruit de haute fréquence dans un signal.

Exemple 2 : Filtre passe-bande RLC série. On utilise un circuit RLC série où la sortie est prise aux bornes de la résistance. Ce filtre laisse passer une bande de fréquences spécifique. Comment caractériser ce filtre passe-bande ?

Solution: La fonction de transfert s’écrit \(H(j\omega) = \frac{R}{R + j(\omega L – \frac{1}{\omega C})}\). La fréquence de résonance est \(\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\). Le filtre transmet les fréquences proches de \(\omega_0\). L’amplitude du signal est maximale à la résonance. La largeur de bande \(\Delta \omega\) est inversement proportionnelle à la résistance \(R\). La bande passante de ce filtre passe-bande est une zone de fréquences autour de la fréquence de résonance.

Exemple 3 : Filtre coupe-bande (notch). Un filtre coupe-bande est utilisé pour bloquer une bande étroite de fréquences. Un exemple pratique de circuit serait le circuit en pont de Wien. On va définir un filtre coupe-bande.

Solution: Dans le circuit en pont de Wien, on combine des éléments résistifs et capacitifs. La fonction de transfert est complexe. À la fréquence de réjection (ou de coupure), l’amplitude du signal est fortement atténuée. Les filtres coupe-bande sont utilisés par exemple pour supprimer une fréquence spécifique (par exemple le bruit à 50 Hz ou 60 Hz) du signal. Le circuit est alors appliqué comme filtre coupe-bande.